두 개의 NDR 쌍의 곱

Question

이것은 May 's Algebraic Topology의 기본형에 대한 질문입니다. $(X,A)$ 과 $(Y,B)$ NDR 쌍이므로 $(X\times Y,X\times B\cup A\times Y)$.

정의에 따라 $(X,A)$ 맵이있는 경우 NDR 쌍입니다. $u:X\to I$ 및 동형 $h:X\times I\to X$ 그런 $u^{-1}(0)=A$ 과 $h(x,0)=x$ 모든 $x\in X$, $h(a,t)=a$ 모든 $a\in A$ 과 $t\in I$, 및 $h(x,1)\in A$ 모든 $x\in u^{-1}([0,1))$.

가정 $(h,u)$ 과 $(j,y)$ 말하다 $(X,A)$ 과 $(Y,B)$ NDR 쌍으로 정의하고 $k:X\times Y\times I\to X\times Y$ 함으로써 $$k(x,y,t)=\begin{cases} (h(x,t),j(y,tu(x)/v(y)))&\text{if }v(y)\geq u(x)\\ (h(x,tv(y)/u(x)),j(y,t))&\text{if }u(x)\geq v(y). \end{cases} $$ 우리는 이해한다 $u(x)/v(y)=1=v(y)/u(x)$ 만약 $u(x)=v(y)=0$. 내 질문은 : 우리는 어떻게 연속성을 확인할 수 있습니까?$k$?

Answer 1

당신은 그것을 보여야 $k$ 하위 집합에서 연속적입니다. $C$ 과 $D$ 의 $X\times Y\times I$ 정의 $v(y)\ge u(x)$ 과 $u(x)\ge v(y)$ 각각 정의에 동의합니다. $C\cap D$. 충분합니다.$C$ 과 $D$ 닫혀있다 $X\times Y\times I$. 교차로에서 일치한다는 것도 분명합니다. 따라서 증명해야 할 것은$k$ 계속된다 $C$ 그리고 $D$.

둘 다에 대한 증명은 비슷할 것이므로 $C$. 나는 그것이 분명하다고 생각한다$k$ 모든 점에서 연속적입니다. $v(y)>0$, 그러니 $P=(x_0,y_0,t_0)$ 와 $u(x_0)=v(y_0)=0$, 그건 $x_0\in A$ 과 $y_0\in B$. 확실히$h(x,t)$ 연속적이다 $P$, 그래서 우리는 $j(y,tu(x)/v(y))$또한. 이것은 연속성에서 따를 것입니다$tu(x)/v(y)$. 우리는$t_0u(x_0)/v(y_0)$ 되려고 $t_0$.

허락하다 $U$ 이웃이다 $t_0$ 에 $I$. 연속성에 의해$u$ 과 $v$, 증명하는 것으로 충분합니다. $$E=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1,t(r/s)\in U\}$$ 열려있다 $$F=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1\}.$$ 대회에서 $0/0=1$, $$E=\{(0,0,t):t\in U\}\cup\{(r,s,t)\in F,s>0,rt/s\in U\}$$ 열려있는 $F$.