프리드만 방정식 및 세계 모델

이 장에서는 Friedmann 방정식이 무엇인지 이해하고 다양한 곡률 상수에 대한 세계 모델에 대해 자세히 연구합니다.

프리드만 방정식

이 방정식은 우주의 동종 및 등방성 모델에서 공간 확장에 대해 알려줍니다.

$$ \ 왼쪽 (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a ^ 2} $ $

이것은 맥락에서 수정되었습니다 General Relativity (GR) 및 Robertson-Walker Metric은 다음과 같습니다.

GR 방정식 사용-

$$ \ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2 $$

어디 k곡률 상수입니다. 따라서,

$$ \ 왼쪽 (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho-\ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $

또한 $ \ rho $는 물질, 복사 및 기타 모든 형태의 에너지를 포함하는 에너지 밀도로 대체됩니다. 그러나 표현 목적으로 $ \ rho $로 작성됩니다.

이제 곡률 상수 값에 따라 다양한 가능성을 살펴 보겠습니다.

팽창하는 우주의 경우 $ da / dt> 0 $. 확장이 계속되면 위 방정식의 RHS에서 첫 번째 항은 $ a ^ {-3} $가되고 두 번째 항은 $ a ^ {-2} $가됩니다. 두 항이 같을 때 우주는 팽창을 중단합니다. 그런 다음-

$$ \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $$

여기에서 k = 1이므로

$$ a = \ left [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

그러한 우주는 유한하고 유한 한 부피를 가지고 있습니다. 이것을 닫힌 우주라고합니다.

만약 k < 0, 확장은 결코 중단되지 않습니다. 어느 시점이 지나면 RHS의 첫 번째 용어는 두 번째 용어와 비교하여 무시할 수 있습니다.

여기서 k = -1입니다. 따라서 $ da / dt ∼ c $.

이 경우 우주는 둥글게됩니다. 그러한 우주에는 무한한 공간과 시간이 있습니다. 이것을 열린 우주라고합니다.

이 경우 우주는 감소하는 속도로 팽창하고 있습니다. 여기서 k = 0입니다. 따라서

$$ \ 왼쪽 (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho $$

그러한 우주에는 무한한 공간과 시간이 있습니다. 이것을 평평한 우주라고합니다.