허블 매개 변수 및 스케일 팩터
이 장에서는 스케일 팩터와 허블 매개 변수에 대해 논의 할 것입니다.
Prerequisite − 우주적 적색 편이, 우주 론적 원리.
Assumption − 우주는 동질적이고 등방성입니다.
스케일 팩터의 분수 변화율을 갖는 허블 상수
이 섹션에서는 허블 상수를 스케일 팩터의 분수 변화율과 관련시킬 것입니다.
다음과 같은 방식으로 속도를 작성하고 단순화 할 수 있습니다.
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} $$
$$ = \ frac {d [a (t) r_c} {dt} $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast (ar_c) $$
$$ v = \ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ ast \ frac {1} {a} \ ast r_p $$
여기, v 후퇴 속도, a 스케일 팩터이고 rp 은하 사이의 적절한 거리입니다.
Hubble’s Empirical Formula 자연이었다-
$$ v = H \ ast r_p $$
따라서 위의 두 방정식을 비교하면-
Hubble’s Parameter = Fractional rate of change of the scale factor
$$ H = da / dt \ ast 1 / a $$
Note− 스케일 팩터는 시간의 함수이므로 상수가 아닙니다. 따라서 허블 상수가 아니라 허블 매개 변수라고합니다.
경험적으로 우리는-
$$ H = V / D $$
따라서이 방정식에서 우리는 D 증가하고 있으며 V 상수이면 H 우주의 시간과 팽창에 따라 감소합니다.
Robertson-Walker 모델과 결합 된 Friedmann 방정식
이 섹션에서는 Friedmann Equation이 Robertson-Walker 모델과 함께 어떻게 사용되는지 이해합니다. 이를 이해하기 위해 거리에 테스트 질량이있는 다음 이미지를rp 질량체에서 M 예로서.
위의 이미지를 고려하여 힘을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$$ F = G \ ast M \ ast \ frac {m} {r ^ 2_p} $$
여기, G 우주 중력 상수이고 ρ는 관측 가능한 우주 내부의 물질 밀도입니다.
이제 구 내에서 균일 한 질량 밀도를 가정하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ M = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast r_p ^ 3 \ ast \ rho $$
힘 방정식에서 이것을 다시 사용하면
$$ F = \ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p \ ast \ rho \ ast m $$
따라서 우리는 질량의 위치 에너지와 운동 에너지를 쓸 수 있습니다 m 로-
$$ V =-\ frac {4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r ^ 2_p \ ast m \ ast \ rho $$
$$ KE = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ frac {\ mathrm {d} r_p ^ 2} {\ mathrm {d} t} $$
사용 Virial Theorem −
$$ U = KE + V $$
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} r_p} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2-\ frac {4} { 3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
하지만 여기서 $ r_p = ar_c $입니다. 그래서 우리는-
$$ U = \ frac {1} {2} \ ast m \ ast \ left (\ frac {\ mathrm {d} a} {\ mathrm {d} t} \ right) ^ 2 r_c ^ 2-\ frac { 4} {3} \ ast \ pi \ ast G \ ast r_p ^ 2 \ ast m \ ast \ rho $$
더 단순화하면 Friedmann 방정식을 얻습니다.
$$ \ 왼쪽 (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi} {3} \ ast G \ ast \ rho + \ frac {2U} {m} \ ast r_c ^ 2 \ ast a ^ 2 $$
여기 U상수입니다. 또한 현재 우리가 살고있는 우주는 물질이 지배하는 반면 복사 에너지 밀도는 매우 낮습니다.
기억해야 할 사항
허블 매개 변수는 우주의 시간과 팽창에 따라 감소합니다.
현재 우리가 살고있는 우주는 물질이 지배하고 있으며 복사 에너지 밀도는 매우 낮습니다.