우주론-물질 지배 우주
이 장에서는 물질 지배 우주와 관련된 프리드만 방정식의 해법에 대해 논의 할 것입니다. 우주론에서 우리는 모든 것을 대규모로보고 있기 때문에, 태양계, 은하계, 모든 것이 먼지 입자 (눈으로 보는 것)와 같기 때문에 먼지가 많은 우주 또는 물질 만 우주라고 부를 수 있습니다.
에서 Fluid Equation,
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right ) \ left (\ frac {P} {c ^ 2} \ right) $$
압력 용어가 있음을 알 수 있습니다. 먼지가 많은 우주를 위해P = 0왜냐하면 물질의 에너지 밀도는 복사 압력보다 클 것이고 물질은 상대 론적 속도로 움직이지 않기 때문입니다.
따라서 유체 방정식은
$$ \ dot {\ rho} = -3 \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) \ rho $$
$$ \ Rightarrow \ dot {\ rho} a + 3 \ dot {a} \ rho = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {a ^ 3} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (a ^ 3 \ rho) = 0 $$
$$ \ Rightarrow \ rho a ^ 3 = \ : 상수 $$
$$ \ Rightarrow \ rho \ propto \ frac {1} {a ^ 3} $$
부피가 $ a ^ 3 $로 증가하기 때문에 밀도가 $ a ^ {-3} $로 확장되어야하므로이 방정식에는 반 직관이 없습니다.
마지막 관계에서 우리는 이렇게 말할 수 있습니다.
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left [\ frac {a_0} {a (t)} \ right] ^ 3 $$
현재 우주를 위해 a, 이는 a0 1이어야합니다.
$$ \ rho (t) = \ frac {\ rho_0} {a ^ 3} $$
물질이 지배하는 평평한 우주에서 k = 0입니다. 따라서 Friedmann 방정식은
$$ \ 왼쪽 (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ dot {a} ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho a ^ 2} {3} $$
이 방정식을 풀면,
$$ a \ propto t ^ {2/3} $$
$$ \ frac {a (t)} {a_0} = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
이것은 우주가 감소하는 속도로 계속 증가 할 것임을 의미합니다. 다음 이미지는 Dusty Universe의 확장을 보여줍니다.
ρ는 시간에 따라 어떻게 변합니까?
다음 방정식을 살펴보십시오-
$$ \ frac {\ rho (t)} {\ rho_0} = \ left (\ frac {t_0} {t} \ right) ^ 2 $$
스케일 팩터는 시간에 따라 $ t ^ {2/3} $로 변한다는 것을 알고 있습니다. 그래서,
$$ a (t) = \ left (\ frac {t} {t_0} \ right) ^ {2/3} $$
그것을 차별화하면,
$$ \ frac {(da)} {dt} = \ dot {a} = \ frac {2} {3} \ left (\ frac {t ^ {-1/3}} {t_0} \ right) $$
우리는 Hubble Constant 이다,
$$ H (t) = \ frac {\ dot {a}} {a} = \ frac {2} {3t} $$
이것은 방정식입니다 Einstein-de sitter Universe. 우주의 현재 나이를 계산하고 싶다면
$$ t_0 = t_ {나이} = \ frac {2} {3H_0} $$
현재 우주에 $ H_0 $ 값을 입력 한 후 우주의 나이 값을 다음과 같이 구합니다. 9 Gyrs. 많이있다Globular Cluster 그 이상의 나이를 가진 우리 은하계에서.
그것은 먼지가 많은 우주에 관한 것입니다. 이제 우주가 물질이 아니라 복사에 의해 지배된다고 가정하면 복사 에너지 밀도는 $ a ^ {-3} $가 아니라 $ a ^ {-4} $가됩니다. 다음 장에서 더 자세히 살펴 보겠습니다.
기억해야 할 사항
우주론에서는 모든 것이 먼지 입자와 같아서 먼지가 많은 우주 또는 물질 만 우주라고 부릅니다.
우주가 물질이 아니라 복사에 의해 지배된다고 가정하면 복사 에너지 밀도는 $ a ^ {-3} $가 아니라 $ a ^ {-4} $가됩니다.