우주론-방사선이 지배하는 우주
이 장에서는 방사선 지배 우주와 관련된 프리드만 방정식의 해법에 대해 논의 할 것입니다. 처음에 우리는 물질의 에너지 밀도를 복사의 에너지 밀도와 비교합니다. 이것은 우리 우주가 물질이 지배하는지 방사선이 지배 하는지를 볼 수있게 해줄 것입니다.
방사선의 에너지 밀도
현재 우주에서 만연한 방사선은 항성 원에 거의 기인하지 않지만, 주로 남은 CMB (Cosmic Microwave Background)에 기인합니다.
복사 에너지 밀도 $ \ epsilon _ {\ gamma, 0} $는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$$ \ epsilon _ {\ gamma, 0} = aT_0 ^ 4 $$
여기, a $ (8 \ pi ^ 5k_B ^ 4) / (15h ^ 3c ^ 2) $식이 다음과 같은 복사 상수입니다. a = 7.5657 × 10−15erg\: cm−3 K−4. 여기서 고려하는 온도 T0는 CMB에 해당하는 흑체의 온도와 일치합니다.
결과를 대체하면
$$ \ epsilon _ {\ gamma, 0} = aT_0 ^ 4 = 4 \ times 10 ^ {-13} erg \ : cm ^ {-3} $$
물질의 에너지 밀도
다음 계산에서 우리는 평평한 우주와 K = 0으로 작업한다고 가정합니다. 우리는 물질의 에너지 밀도를 $ \ epsilon = \ rho c ^ 2 $로 간주합니다. 우리는 다음을 고려합니다-
$$ \ rho_ {m, 0} c ^ 2 = 0.3 \ rho_ {c, 0} c ^ 2 = 0.3 \ times \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ times c ^ 2 $$
$$ \ rho_ {m, 0} c ^ 2 \ simeq 2 \ times 10 ^ {-8} 에르그 \ : cm ^ {-3} $$
$$ \ rho_ {b, 0} c ^ 2 = 0.03 \ rho_ {c, 0} c ^ 2 = 0.03 \ times \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ times c ^ 2 $$
$$ \ rho_ {b, 0} c ^ 2 \ simeq 2 \ times 10 ^ {-9} 에르그 \ : cm ^ {-3} $$
따라서 위의 계산에서 우리는 물질이 지배하는 우주에 살고 있음을 알 수 있습니다. 이것은 CMB가 매우 차갑다는 사실에 의해 뒷받침 될 수 있습니다. 시간을 거슬러 올라가면 CMB 온도가 더 뜨거워지고 우주가 복사에 의해 지배되는 시대가 있었을 것이라는 결론을 내릴 수있을 것입니다.
밀도 및 스케일 팩터의 변화
유체 방정식은 우리에게-
$$ \ dot {\ rho} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
먼지가 많은 우주를 고려하면 P = 0이됩니다. 이전 결과를 제외하고 우주는 복사가 지배적 인 것으로 간주합니다.
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho_ {rad} + \ frac {P} {c ^ 2} \ right) = 0 $$
$ P_ {rad} = \ rho c ^ {2/3} $의 압력 관계를 사용하면 −
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 3 \ frac {\ dot {a}} {a} \ left (\ rho_ {rad} + \ frac {\ rho_ {rad}} {3} \ right) = 0 $$
$$ \ dot {\ rho} _ {rad} + 4 \ frac {\ dot {a}} {a} (\ rho_ {rad}) = 0 $$
더 단순화하면, 우리는
$$ \ frac {1} {a ^ 4} \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} (\ rho_ {rad} a ^ 4) = 0 $$
$$ \ rho_ {rad} a ^ 4 = \ : 상수 $$
$$ \ rho_ {rad} \ propto \ frac {1} {a ^ 4} $$
위의 결과는 $ \ rho $를 사용한 a 의 역 4 번째 거듭 제곱 변형을 보여줍니다 .
이것은 물리적으로 $ a ^ {-3} $가 증가함에 따라 볼륨의 변화에서 오는 것으로 해석 될 수 있습니다. 나머지 $ a ^ {-1} $는 우주 공간 확장으로 인해 광자가 손실 한 에너지로 취급 할 수 있습니다 (우주적 적색 편이 1 + z = a -1 ).
다음 이미지는 시간에 따른 물질 및 복사 밀도의 변화를 보여줍니다.
평평하고 방사선이 지배적 인 우주의 경우 다음과 같은 프리드만 방정식이 있습니다.
$$ \ 왼쪽 (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} $$
$$ \ 왼쪽 (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ frac {\ rho_0} {a ^ 4} $$
단순화하고 해를 미분 방정식에 적용하면 다음과 같습니다.
$$ (\ dot {a}) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G \ rho_0} {3a ^ 2} $$
$$ \ 오른쪽 화살표 a (t) \ propto t ^ {\ frac {1} {2}} $$
따라서 우리는-
$$ a (t) = a_0 \ 왼쪽 (\ frac {t} {t_0} \ 오른쪽) ^ {\ frac {1} {2}} $$
위의 방정식에서 우리는 스케일 팩터의 증가율이 먼지가 많은 우주보다 작다는 것을 알 수 있습니다.
기억해야 할 사항
현재 우주에서 만연한 방사선은 항성 원에 거의 기인하지 않을 수 있습니다.
먼지가 많은 우주의 경우 압력은 0입니다.
CMB는 매우 춥습니다.