Matematyka dyskretna - funkcje
ZA Functionprzypisuje każdemu elementowi zestawu dokładnie jeden element powiązanego zestawu. Funkcje znajdują zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak reprezentacja złożoności obliczeniowej algorytmów, liczenie obiektów, badanie sekwencji i łańcuchów, by wymienić tylko kilka. Trzeci i ostatni rozdział tej części podkreśla ważne aspekty funkcji.
Funkcja - definicja
Funkcja lub odwzorowanie (zdefiniowane jako $ f: X \ rightarrow Y $) to relacja między elementami jednego zbioru X a elementami innego zbioru Y (X i Y to niepuste zbiory). X nazywa się Domeną, a Y nazywa się Codomena funkcji „f”.
Funkcja 'f' jest taką relacją na X i Y, że dla każdego $ x \ w X $ istnieje unikalne $ y \ w Y $ takie, że $ (x, y) \ w R $. „x” nazywa się obrazem wstępnym, a „y” obrazem funkcji f.
Funkcją może być jeden do jednego lub wiele do jednego, ale nie jeden do wielu.
Funkcja iniekcyjna / jeden do jednego
Funkcja $ f: A \ rightarrow B $ jest funkcją iniekcyjną lub jeden do jednego, jeśli na każde $ b \ w B $ istnieje najwyżej jedna $ a \ w A $ taka, że $ f (s) = t $ .
Oznacza to funkcję f jest iniekcyjny, jeśli $ a_1 \ ne a_2 $ implikuje $ f (a1) \ ne f (a2) $.
Przykład
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = 5x $ jest iniekcyjne.
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2 $ jest iniekcyjne.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ nie jest wstrzykiwane jako $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $
Funkcja surjektywna / na
Funkcja $ f: A \ rightarrow B $ jest suriektywna (na), jeśli obraz f jest równy jej zakresowi. Równoważnie, dla każdego $ b \ w B $ istnieje jakieś $ a \ w A $ takie, że $ f (a) = b $. Oznacza to, że dla dowolnego y w B istnieje takie x w A, że $ y = f (x) $.
Przykład
$ f: N \ rightarrow N, f (x) = x + 2 $ jest suriektywne.
$ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ nie jest suriektywne, ponieważ nie możemy znaleźć liczby rzeczywistej, której kwadrat jest ujemny.
Bijektywny / Korespondent jeden do jednego
Funkcja $ f: A \ rightarrow B $ jest bijektywna lub korespondentem jeden do jednego wtedy i tylko wtedy, gdy f jest zarówno iniekcyjna, jak i surjektywna.
Problem
Udowodnij, że funkcja $ f: R \ rightarrow R $ zdefiniowana przez $ f (x) = 2x - 3 $ jest funkcją bijektywną.
Explanation - Musimy udowodnić, że ta funkcja jest zarówno iniekcyjna, jak i suriektywna.
Jeśli $ f (x_1) = f (x_2) $, to 2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 $ i oznacza to, że $ x_1 = x_2 $.
Stąd f jest injective.
Tutaj 2x - 3 $ = y $
A więc $ x = (y + 5) / 3 $, które należy do R i $ f (x) = y $.
Stąd f jest surjective.
Od f jest zarówno surjective i injective, możemy powiedzieć f jest bijective.
Odwrotność funkcji
Plik inverse odpowiadającej funkcji jeden do jednego $ f: A \ rightarrow B $, jest funkcją $ g: B \ rightarrow A $, posiadającą następującą właściwość -
$ f (x) = y \ Leftrightarrow g (y) = x $
Wywoływana jest funkcja f invertible, jeśli istnieje jego funkcja odwrotna g.
Przykład
Funkcja $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5 $, jest odwracalna, ponieważ ma funkcję odwrotną $ g: Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5 $.
Funkcja $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2 $ nie jest odwracalna, ponieważ nie jest to funkcja jeden do jednego jak $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $.
Skład funkcji
Dwie funkcje $ f: A \ rightarrow B $ i $ g: B \ rightarrow C $ można utworzyć tak, aby uzyskać kompozycję $ gof $. Jest to funkcja od A do C zdefiniowana przez $ (gof) (x) = g (f (x)) $
Przykład
Niech $ f (x) = x + 2 $ i $ g (x) = 2x + 1 $, znajdź $ (mgła) (x) $ i $ (gof) (x) $.
Rozwiązanie
$ (mgła) (x) = f (g (x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3 $
$ (gof) (x) = g (f (x)) = g (x + 2) = 2 (x + 2) + 1 = 2x + 5 $
Stąd $ (fog) (x) \ neq (gof) (x) $
Kilka faktów na temat kompozycji
Jeśli f i g są jeden do jednego, to funkcja $ (gof) $ jest również jeden do jednego.
Jeśli f i g są na, to funkcja $ (gof) $ jest również na.
Kompozycja zawsze ma własność asocjacyjną, ale nie posiada własności przemiennej.