Uproszczenie funkcji boolowskich

Uproszczenie za pomocą funkcji algebraicznych

W tym podejściu jedno wyrażenie logiczne jest zminimalizowane do równoważnego wyrażenia przez zastosowanie tożsamości boolowskich.

Zadanie 1

Zminimalizuj następujące wyrażenie logiczne za pomocą tożsamości boolowskich -

$$ F (A, B, C) = A'B + BC '+ BC + AB'C' $$

Rozwiązanie

Biorąc pod uwagę, $ F (A, B, C) = A'B + BC '+ BC + AB'C' $

Lub $ F (A, B, C) = A'B + (BC '+ BC') + BC + AB'C '$

[Zgodnie z idempotentnym prawem, BC '= BC' + BC ']

Lub $ F (A, B, C) = A'B + (BC '+ BC) + (BC' + AB'C ') $

Lub $ F (A, B, C) = A'B + B (C '+ C) + C' (B + AB ') $

[Zgodnie z przepisami dystrybucyjnymi]

Lub $ F (A, B, C) = A'B + B.1 + C '(B + A) $

[(C '+ C) = 1 i prawo absorpcji (B + AB') = (B + A)]

Lub $ F (A, B, C) = A'B + B + C '(B + A) $

[B.1 = B]

Lub $ F (A, B, C) = B (A '+ 1) + C' (B + A) $

Lub $ F (A, B, C) = B.1 + C '(B + A) $

[(A '+ 1) = 1]

Lub $ F (A, B, C) = B + C '(B + A) $

[As, B.1 = B]

Lub $ F (A, B, C) = B + BC '+ AC' $

Lub $ F (A, B, C) = B (1 + C ') + AC' $

Lub $ F (A, B, C) = B.1 + AC '$

[As, (1 + C ') = 1]

Lub $ F (A, B, C) = B + AC '$

[As, B.1 = B]

Zatem $ F (A, B, C) = B + AC '$ jest zminimalizowaną formą.

Problem 2

Zminimalizuj następujące wyrażenie logiczne za pomocą tożsamości boolowskich -

$$ F (A, B, C) = (A + B) (A + C) $$

Rozwiązanie

Biorąc pod uwagę, $ F (A, B, C) = (A + B) (A + C) $

Lub $ F (A, B, C) = AA + AC + BA + BC $ [Stosowanie reguły podziału]

Lub $ F (A, B, C) = A + AC + BA + BC $ [Stosowanie prawa idempotentnego]

Lub $ F (A, B, C) = A (1 + C) + BA + BC $ [Stosowanie prawa podziału]

Lub $ F (A, B, C) = A + BA + BC $ [Stosowanie prawa dominacji]

Albo $ F (A, B, C) = (A + 1). A + BC $ [Stosowanie prawa podziału]

Albo $ F (A, B, C) = 1.A + BC $ [Stosowanie prawa dominacji]

Lub $ F (A, B, C) = A + BC $ [Stosowanie prawa dominacji]

Zatem $ F (A, B, C) = A + BC $ to zminimalizowana forma.

Mapy Karnaugha

Mapa Karnaugha (mapa K), wprowadzona przez Maurice'a Karnaughina w 1953 r., Jest siatkową reprezentacją tabeli prawdy, która jest używana do uproszczenia wyrażeń algebry boolowskiej. Mapa Karnaugha ma zero i jeden wpis w różnych pozycjach. Zapewnia grupowanie wyrażeń boolowskich ze wspólnymi czynnikami i eliminuje niechciane zmienne z wyrażenia. Na mapie K przekroczenie pionowej lub poziomej granicy komórki jest zawsze zmianą tylko jednej zmiennej.

Przykład 1

Arbitralna tabela prawdy jest przedstawiona poniżej -

ZA	b	Operacja B.
0	0	w
0	1	x
1	0	y
1	1	z

Teraz zrobimy k-mapę dla powyższej tabeli prawdy -

Przykład 2

Teraz stworzymy mapę K dla wyrażenia - AB + A'B '

Uproszczenie za pomocą mapy K

K-map używa pewnych reguł do upraszczania wyrażeń boolowskich poprzez łączenie ze sobą sąsiednich komórek w jeden termin. Zasady opisano poniżej -

Rule 1 - Żadnej komórki zawierającej zero nie można grupować.

Niewłaściwe grupowanie

Rule 2 - Grupy muszą zawierać 2n komórek (n zaczynając od 1).

Niewłaściwe grupowanie

Rule 3 - Grupowanie musi być poziome lub pionowe, ale nie może być ukośne.

Nieprawidłowe grupowanie po przekątnej

Właściwe grupowanie pionowe

Właściwe grupowanie poziome

Rule 4 - Grupy muszą być uwzględnione w jak największej liczbie.

Niewystarczające grupowanie

Właściwe grupowanie

Rule 5 - Jeśli 1 z dowolnej komórki nie może być zgrupowany z inną komórką, będzie działać jako grupa.

Właściwe grupowanie

Rule 6 - Grupy mogą się nakładać, ale powinno być jak najmniej grup.

Właściwe grupowanie

Rule 7 - Komórka / komórki znajdujące się najbardziej po lewej stronie można zgrupować z komórką / komórkami położonymi najbardziej po prawej, a komórka / komórki znajdujące się najwyżej można zgrupować z komórką / komórkami położonymi najniżej.