Operatory i postulaty

Teoria grup to gałąź matematyki i algebry abstrakcyjnej, która definiuje strukturę algebraiczną o nazwie group. Ogólnie grupa składa się ze zbioru elementów i operacji na dowolnych dwóch elementach w tym zestawie, aby utworzyć trzeci element również w tym zestawie.

W 1854 roku Arthur Cayley, brytyjski matematyk, po raz pierwszy podał nowoczesną definicję grupy -

„Zbiór symboli, z których każdy jest inny i taki, że iloczyn dowolnych dwóch z nich (bez względu na to, w jakiej kolejności) lub produkt jednego z nich w sobie, należy do zbioru, mówi się, że jest to grupa . Symbole te nie są na ogół zamienialne [przemienne], ale są asocjacyjne ”.

W tym rozdziale dowiemy się o operators and postulates które tworzą podstawy teorii mnogości, teorii grup i algebry Boole'a.

Dowolny zbiór elementów w systemie matematycznym można zdefiniować za pomocą zestawu operatorów i szeregu postulatów.

ZA binary operatorzdefiniowana na zbiorze elementów to reguła przypisująca każdej parze elementów unikalny element z tego zbioru. Na przykład, mając zestaw $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \ rbrace $, możemy powiedzieć, że $ \ otimes $ jest operatorem binarnym dla operacji $ c = a \ otimes b $, jeśli określa reguła znajdowania c dla pary $ (a, b) $, taka że $ a, b, c \ w A $.

Plik postulatessystemu matematycznego tworzą podstawowe założenia, z których można wywnioskować reguły. Postulaty to -

Zamknięcie

Zbiór jest zamykany w odniesieniu do operatora binarnego, jeśli dla każdej pary elementów w zestawie operator znajdzie unikalny element z tego zbioru.

Przykład

Niech $ A = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Zbiór ten zamyka się pod operatorem binarnym w $ (\ ast) $, ponieważ dla operacji $ c = a \ ast b $, dla dowolnego $ a, b \ w A $, produkt $ c \ w A $.

Zbiór nie jest zamknięty pod operatorem binarnym dzielić $ (\ div) $, ponieważ dla operacji $ c = a \ div b $, dla dowolnego $ a, b \ w A $, produkt c może nie znajdować się w zbiorze A. Jeśli $ a = 7, b = 2 $, to $ c = 3,5 $. Tutaj $ a, b \ w A $, ale $ c \ notin A $.

Prawa stowarzyszeniowe

Operator binarny $ \ otimes $ na zbiorze A jest asocjacyjny, gdy posiada następującą właściwość -

$ (x \ otimes y) \ otimes z = x \ otimes (y \ otimes z) $, gdzie $ x, y, z \ in A $

Przykład

Niech $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Operator plus $ (+) $ jest asocjacyjny, ponieważ dla dowolnych trzech elementów, $ x, y, z \ w A $, posiada właściwość $ (x + y) + z = x + (y + z) $.

Operator minus $ (-) $ nie jest asocjacyjny od

$$ (x - y) - z \ ne x - (y - z) $$

Prawa przemienne

Operator binarny $ \ otimes $ na zbiorze A jest przemienny, gdy posiada następującą właściwość -

$ x \ otimes y = y \ otimes x $, gdzie $ x, y \ w A $

Przykład

Niech $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Operator plus $ (+) $ jest przemienny, ponieważ dla dowolnych dwóch elementów, $ x, y \ w A $, posiada właściwość $ x + y = y + x $.

Operator minus $ (-) $ nie jest asocjacyjny od

$$ x - y \ ne y - x $$

Prawa dystrybucyjne

Dwa operatory binarne $ \ otimes $ i $ \ circledast $ na zbiorze A są rozdzielcze względem operatora $ \ circledast $, gdy zachowana jest następująca właściwość -

$ x \ otimes (y \ circledast z) = (x \ otimes y) \ circledast (x \ otimes z) $, gdzie $ x, y, z \ in A $

Przykład

Niech $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Operatory w $ (*) $ i plus $ (+) $ są rozdzielcze względem operatora +, ponieważ dla dowolnych trzech elementów, $ x, y, z \ w A $, właściwość $ x * (y + z) = (x * y) + (x * z) $ trzyma.

Jednak od tego czasu operatory te nie są dystrybucyjne w stosunku do $ * $

$$ x + (y * z) \ ne (x + y) * (x + z) $$

Element tożsamości

Zbiór A ma element tożsamości w odniesieniu do operacji binarnej $ \ otimes $ na A, jeśli istnieje element $ e \ w A $, taki, że następująca właściwość posiada -

$ e \ otimes x = x \ otimes e $, gdzie $ x \ w A $

Przykład

Niech $ Z = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Element 1 jest elementem tożsamości w odniesieniu do operacji $ * $, ponieważ dla dowolnego elementu $ x \ w Z $,

$$ 1 * x = x * 1 $$

Z drugiej strony nie ma elementu tożsamości dla operacji minus $ (-) $

Odwrotność

Jeśli zbiór A ma element tożsamości $ e $ w odniesieniu do operatora binarnego $ \ otimes $, mówi się, że ma odwrotność, gdy dla każdego elementu $ x \ w A $ istnieje inny element $ y \ w A $ , takie, że następująca własność posiada -

$$ x \ otimes y = e $$