Matematyka dyskretna - prawdopodobieństwo

Ściśle związane z koncepcjami liczenia jest prawdopodobieństwo. Często staramy się odgadnąć wyniki gier losowych, takich jak gry karciane, automaty do gier i loterie; tj. staramy się znaleźć prawdopodobieństwo lub prawdopodobieństwo uzyskania określonego wyniku.

Probabilitymożna konceptualizować jako znajdowanie szansy wystąpienia zdarzenia. Matematycznie jest to badanie procesów losowych i ich skutków. Prawa prawdopodobieństwa mają szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak genetyka, prognozy pogody, badania opinii publicznej, giełdy itp.

Podstawowe koncepcje

Teoria prawdopodobieństwa została wymyślona w XVII wieku przez dwóch francuskich matematyków, Blaise'a Pascala i Pierre'a de Fermata, którzy zajmowali się matematycznymi problemami dotyczącymi przypadku.

Zanim przejdziemy do szczegółów prawdopodobieństwa, zapoznajmy się z pewnymi definicjami.

Random Experiment- Eksperyment, w którym znane są wszystkie możliwe wyniki, a dokładnego wyniku nie można przewidzieć z góry, nazywa się eksperymentem losowym. Rzucanie uczciwą monetą to przykład losowego eksperymentu.

Sample Space- Kiedy wykonujemy eksperyment, zbiór S wszystkich możliwych wyników nazywamy przestrzenią prób. Jeśli rzucimy monetą, przestrzeń próbna $ S = \ left \ {H, T \ right \} $

Event- Każdy podzbiór przestrzeni próbkowania nazywany jest zdarzeniem. Po rzucie monetą zdobycie głowy na wierzch jest wydarzeniem.

Słowo „prawdopodobieństwo” oznacza możliwość wystąpienia określonego zdarzenia. Najlepsze, co możemy powiedzieć, to prawdopodobieństwo ich wystąpienia, używając pojęcia prawdopodobieństwa.

$ Prawdopodobieństwo \: z \: wystąpienie \: z \: an \: zdarzenie = \ frac {Suma \: liczba \: z \: korzystne \: wynik} {Suma \: liczba \: z \: wyniki} $

Ponieważ wystąpienie dowolnego zdarzenia waha się między 0% a 100%, prawdopodobieństwo waha się między 0 a 1.

Kroki, aby znaleźć prawdopodobieństwo

Krok 1 - Oblicz wszystkie możliwe wyniki eksperymentu.

Krok 2 - Oblicz liczbę korzystnych wyników eksperymentu.

Krok 3 - Zastosuj odpowiednią formułę prawdopodobieństwa.

Rzucanie monetą

W przypadku rzutu monetą są dwa możliwe wyniki - reszka $ (H) $ lub reszka $ (T) $

Zatem całkowita liczba wyników = 2

W związku z tym prawdopodobieństwo zdobycia Head $ (H) $ na szczycie wynosi 1/2, a prawdopodobieństwo zdobycia Tails $ (T) $ na szczycie wynosi 1/2.

Rzucanie kostką

Gdy rzuca się kostką, na szczycie może znaleźć się sześć możliwych wyników - 1 $, 2, 3, 4, 5, 6 $.

Prawdopodobieństwo jednej z liczb wynosi 1/6

Prawdopodobieństwo uzyskania liczb parzystych wynosi 3/6 = 1/2

Prawdopodobieństwo uzyskania liczb nieparzystych wynosi 3/6 = 1/2

Pobieranie kart z talii

Z talii 52 kart, jeśli zostanie wybrana jedna karta, znajdź prawdopodobieństwo wylosowania asa, a także oblicz prawdopodobieństwo wylosowania karo.

Łączna liczba możliwych wyników - 52

Wyniki bycia asem - 4

Prawdopodobieństwo bycia asem = 4/52 = 1/13

Prawdopodobieństwo bycia diamentem = 13/52 = 1/4

Aksjomaty prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo zdarzenia zawsze waha się od 0 do 1. $ [0 \ leq P (x) \ leq 1] $
W przypadku niemożliwego zdarzenia prawdopodobieństwo wynosi 0, a dla pewnego zdarzenia prawdopodobieństwo wynosi 1.
Jeśli na wystąpienie jednego zdarzenia nie ma wpływu inne wydarzenie, nazywane są one wzajemnie wykluczającymi się lub rozłącznymi.

Jeśli $ A_1, A_2 .... A_n $ są zdarzeniami wzajemnie wykluczającymi się / rozłącznymi, to $ P (A_i \ cap A_j) = \ emptyset $ for $ i \ ne j $ i $ P (A_1 \ cup A_2 \ cup .. .. A_n) = P (A_1) + P (A_2) + ..... P (A_n) $

Własności prawdopodobieństwa

Jeśli istnieją dwa zdarzenia $ x $ i $ \ overline {x} $, które się uzupełniają, to prawdopodobieństwo zdarzenia uzupełniającego wynosi -

$$ p (\ overline {x}) = 1-p (x) $$
Dla dwóch nierozłącznych wydarzeń A i B prawdopodobieństwo połączenia dwóch zdarzeń -

$ P (A \ cup B) = P (A) + P (B) $
Jeśli zdarzenie A jest podzbiorem innego zdarzenia B (tj. $ A \ podzbiór B $), to prawdopodobieństwo A jest mniejsze lub równe prawdopodobieństwu B. Stąd $ A \ podzbiór B $ implikuje $ P (A ) \ leq p (B) $

Warunkowe prawdopodobieństwo

Warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia B to prawdopodobieństwo, że zdarzenie wystąpi, biorąc pod uwagę, że zdarzenie A już miało miejsce. Jest to zapisane jako $ P (B | A) $.

Matematycznie - $ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) $

Jeżeli zdarzenie A i B wykluczają się wzajemnie, to warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia B po zdarzeniu A będzie równe prawdopodobieństwu zdarzenia B, które wynosi $ P (B) $.

Problem 1

W kraju 50% wszystkich nastolatków posiada rower, a 30% wszystkich nastolatków posiada rower i rower. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nastolatek ma rower, biorąc pod uwagę, że ma rower?

Solution

Załóżmy, że A to zdarzenie, w którym nastolatki mają tylko rower, a B to zdarzenie, w którym nastolatki mają tylko rower.

Czyli $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ i $ P (A \ cap B) = 30/100 = 0,3 $ z danego problemu.

$ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) = 0,3 / 0,5 = 0,6 $

Stąd prawdopodobieństwo, że nastolatek ma rower, biorąc pod uwagę, że ma rower, wynosi 60%.

Problem 2

W klasie 50% wszystkich uczniów gra w krykieta, a 25% wszystkich uczniów gra w krykieta i siatkówkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń gra w siatkówkę, biorąc pod uwagę, że uczeń gra w krykieta?

Solution

Załóżmy, że A to wydarzenie, w którym uczniowie grają tylko w krykieta, a B to wydarzenie, w którym uczniowie grają tylko w siatkówkę.

Zatem $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ i $ P (A \ cap B) = 25/100 = 0,25 $ z danego problemu.

$ P \ lgroup B \ rvert A \ rgroup = P \ lgroup A \ cap B \ rgroup / P \ lgroup A \ rgroup = 0,25 / 0,5 = 0,5 $

Stąd prawdopodobieństwo, że uczeń gra w siatkówkę, biorąc pod uwagę, że uczeń gra w krykieta, wynosi 50%.

Problem 3

Pomieszano sześć dobrych laptopów i trzy uszkodzone laptopy. Aby znaleźć uszkodzone laptopy, wszystkie są losowo testowane jeden po drugim. Jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia obu wadliwych laptopów w pierwszych dwóch typach?

Solution

Niech A będzie zdarzeniem, w którym znajdziemy uszkodzony laptop w pierwszym teście, a B będzie zdarzeniem, w którym znajdziemy uszkodzony laptop w drugim teście.

Stąd $ P (A \ cap B) = P (A) P (B | A) = 3/9 \ times 2/8 = 1/12 $

Twierdzenie Bayesa

Theorem- Jeśli A i B są dwoma wzajemnie wykluczającymi się zdarzeniami, gdzie $ P (A) $ jest prawdopodobieństwem A, a $ P (B) $ jest prawdopodobieństwem B, $ P (A | B) $ jest prawdopodobieństwem A danego że B jest prawdą. $ P (B | A) $ jest prawdopodobieństwem B przy założeniu, że A jest prawdziwe, a następnie twierdzenie Bayesa stwierdza -

$$ P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P (B | Ai) P (Ai)} $$

Zastosowanie twierdzenia Bayesa

W sytuacjach, gdy wszystkie zdarzenia z przestrzeni próbnej wzajemnie się wykluczają.
W sytuacjach, gdy znany jest $ P (A_i \ cap B) $ dla każdego $ A_i $ lub $ P (A_i) $ i $ P (B | A_i) $ dla każdego $ A_i $.

Problem

Rozważ trzy stojaki na długopisy. Pierwszy stojak na pióra zawiera 2 czerwone i 3 niebieskie pióra; druga ma 3 czerwone i 2 niebieskie pióra; a trzeci ma 4 czerwone i 1 niebieski. Istnieje równe prawdopodobieństwo wyboru każdego stojaka na długopisy. Jeśli losuje się jeden długopis, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to czerwony długopis?

Solution

Niech $ A_i $ za zdarzenie, które I ^th pen-stand jest zaznaczona.

Tutaj i = 1,2,3.

Ponieważ prawdopodobieństwo wyboru podstawki na pióro jest równe, $ P (A_i) = 1/3 $

Niech B będzie zdarzeniem rysowania czerwonego pióra.

Prawdopodobieństwo, że czerwony długopis zostanie wybrany spośród pięciu piór pierwszego stojaka,

$ P (B | A_1) = 2/5 $

Prawdopodobieństwo, że czerwony długopis zostanie wybrany spośród pięciu piór drugiego stojaka,

$ P (B | A_2) = 3/5 $

Prawdopodobieństwo, że czerwony długopis zostanie wybrany spośród pięciu piór trzeciego stojaka,

$ P (B | A_3) = 4/5 $

Zgodnie z twierdzeniem Bayesa,