Matematyka dyskretna - zasady wnioskowania

Aby wydedukować nowe stwierdzenia ze stwierdzeń, których prawdziwość już znamy, Rules of Inference są używane.

Do czego służą reguły wnioskowania?

Logika matematyczna jest często używana do dowodów logicznych. Dowody to ważne argumenty, które określają prawdziwość twierdzeń matematycznych.

Argument to sekwencja instrukcji. Ostatnie stwierdzenie jest konkluzją, a wszystkie poprzednie stwierdzenia nazywane są przesłankami (lub hipotezami). Symbol „$ \ Dlatego $” (czytaj więc) jest umieszczony przed wnioskiem. Ważnym argumentem jest taki, w którym wniosek wynika z prawdziwości przesłanek.

Reguły wnioskowania zawierają szablony lub wytyczne dotyczące konstruowania prawidłowych argumentów na podstawie instrukcji, które już mamy.

Tabela reguł wnioskowania

Reguła wnioskowania	Nazwa	Reguła wnioskowania	Nazwa
$$ \ begin {matrix} P \\ \ hline \ a zatem P \ lor Q \ end {matrix} $$	Dodanie	$$ \ begin {matrix} P \ lor Q \\ \ lnot P \\ \ hline \ więc Q \ end {matrix} $$	Sylogizm rozłączny
$$ \ begin {matrix} P \\ Q \\ \ hline \ dlatego P \ land Q \ end {matrix} $$	Spójnik	$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ Dlatego P \ rightarrow R \ end {matrix} $$	Sylogizm hipotetyczny
$$ \ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \ dlatego P \ end {matrix} $$	Uproszczenie	$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ Dlatego Q \ lor S \ end {matrix} $$	Konstruktywny dylemat
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ Dlatego Q \ end {matrix} $$	Modus Ponens	$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ Dlatego \ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$	Destrukcyjny dylemat
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ Dlatego \ lnot P \ end {matrix} $$	Modus Tollens

Dodanie

Jeśli P jest przesłanką, możemy użyć reguły dodawania, aby wyprowadzić $ P \ llub Q $.

$$ \ begin {matrix} P \\ \ hline \ a zatem P \ lor Q \ end {matrix} $$

Przykład

Niech P będzie twierdzeniem: „On bardzo się uczy” jest prawdą

Dlatego - „Albo bardzo się uczy, albo jest bardzo złym uczniem”. Tutaj Q jest propozycją „jest bardzo złym uczniem”.

Spójnik

Jeśli P i Q to dwie przesłanki, możemy użyć reguły koniunkcji, aby wyprowadzić $ P \ land Q $.

$$ \ begin {matrix} P \\ Q \\ \ hline \ dlatego P \ land Q \ end {matrix} $$

Przykład

Niech P - „Uczy się bardzo ciężko”

Niech Q - „On jest najlepszym chłopcem w klasie”

Dlatego - "Uczy się bardzo ciężko i jest najlepszym chłopakiem w klasie"

Uproszczenie

Jeśli $ P \ land Q $ jest przesłanką, możemy użyć reguły uproszczenia, aby wyprowadzić P.

$$ \ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \ dlatego P \ end {matrix} $$

Przykład

"Uczy się bardzo ciężko i jest najlepszym chłopcem w klasie", $ P \ land Q $

Dlatego - „Uczy się bardzo ciężko”

Modus Ponens

Jeśli P i $ P \ rightarrow Q $ to dwie przesłanki, możemy użyć Modus Ponens do wyprowadzenia Q.

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ \ hline \ Dlatego Q \ end {matrix} $$

Przykład

„Jeśli masz hasło, możesz zalogować się do Facebooka”, $ P \ rightarrow Q $

„Masz hasło”, P

Dlatego - „Możesz zalogować się do Facebooka”

Modus Tollens

Jeśli $ P \ rightarrow Q $ i $ \ lnot Q $ to dwie przesłanki, możemy użyć Modus Tollens do wyprowadzenia $ \ lnot P $.

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ Dlatego \ lnot P \ end {matrix} $$

Przykład

„Jeśli masz hasło, możesz zalogować się do Facebooka”, $ P \ rightarrow Q $

„Nie możesz zalogować się do Facebooka”, $ \ lnot Q $

Dlatego - „Nie masz hasła”

Sylogizm rozłączny

Jeśli $ \ lnot P $ i $ P \ lor Q $ są dwiema przesłankami, możemy użyć Disjunctive Syllogism do wyprowadzenia Q.

$$ \ begin {matrix} \ lnot P \\ P \ lor Q \\ \ hline \ dlatego Q \ end {matrix} $$

Przykład

„Lody nie mają smaku waniliowego”, $ \ lnot P $

„Lody mają smak waniliowy lub czekoladowy”, $ P \ lor Q $

Dlatego - „Lody mają smak czekoladowy”

Sylogizm hipotetyczny

Jeśli $ P \ rightarrow Q $ i $ Q \ rightarrow R $ to dwie przesłanki, możemy użyć hipotetycznego sylogizmu do wyprowadzenia $ P \ rightarrow R $

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ \ hline \ Dlatego P \ rightarrow R \ end {matrix} $$

Przykład

„Jeśli pada deszcz, nie pójdę do szkoły”, $ P \ rightarrow Q $

„Jeśli nie pójdę do szkoły, nie będę musiał odrabiać lekcji”, $ Q \ rightarrow R $

Dlatego - „Jeśli pada, nie będę musiał odrabiać lekcji”

Konstruktywny dylemat

Jeśli $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ i $ P \ lor R $ to dwie przesłanki, możemy użyć dylematu konstruktywnego, aby wyprowadzić $ Q \ lor S $.

$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ Dlatego Q \ lor S \ end {matrix} $$

Przykład

„Jeśli pada, wychodzę”, $ (P \ rightarrow Q) $

„Jeśli na zewnątrz jest gorąco, pójdę pod prysznic”, $ (R \ rightarrow S) $

„Albo będzie padać, albo na zewnątrz będzie gorąco”, $ P \ lor R $

Dlatego - „Wychodzę albo pójdę pod prysznic”

Destrukcyjny dylemat

Jeśli $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ i $ \ lnot Q \ lor \ lnot S $ to dwie przesłanki, możemy użyć destrukcyjnego dylematu, aby wyprowadzić $ \ lnot P \ lor \ lnot R $.

$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ Dlatego \ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$

Przykład

„Jeśli pada, wychodzę”, $ (P \ rightarrow Q) $

„Jeśli na zewnątrz jest gorąco, pójdę pod prysznic”, $ (R \ rightarrow S) $

„Albo nie wyjdę, albo nie pójdę pod prysznic”, $ \ lnot Q \ llub \ lnot S $

Dlatego - „Albo nie pada, albo na dworze nie jest gorąco”