Как показать $f^{-1}(0) \subset \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ гладкий

Question

Позволять $f : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$быть гладкой картой. Интересно по поводу плавности набора$f^{-1}(0)$ при следующих условиях:

(1) Для всех $x \in \mathbb{R}^m$, $f^{-1}(0) \cap (\{x\} \times \mathbb{R}^n)$ гладкая размерность $r$(если не пусто). Размер остается неизменным для всех$x$.

(2) Для всех $(x, y) \in f^{-1}(0)$ ограничение проекции $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ к ядру $df_{(x,y)}$сюръективно. Другими словами, для всех$u \in \mathbb{R}^m$ Существует $v \in \mathbb{R}^n$ такой, что $df_{(x,y)}(u, v) = 0$.

Почему $f^{-1}(0)$ гладкое подмногообразие $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$? (Возможно, это не так, но я где-то видел это утверждение, поэтому и спрашиваю.)

Я пытаюсь применить теорему трансверсальности, но не совсем понятно, как, поскольку $df_{(x,y)}$не может быть сюръективным. Интуитивно, согласно (1) негладкость может возникать только в поперечных направлениях$\mathbb{R}^m \times \{y\}$ но потому что $\ker df_{(x,y)} \to \mathbb{R}^m$ сюръективно, чего не может быть.

Answer 1

Мне это кажется неправильным; возможно, я что-то упускаю, поэтому, пожалуйста, внимательно проверьте это еще раз.

Взять $m=n=1$ и $r=0$. Позволять$f\colon\Bbb R\times\Bbb R\to\Bbb R$ быть предоставленным $$f(x,y)=x^2-y^2.$$ $f^{-1}(0)$ это набор $|y|=|x|$, а волокна при проецировании на $x$-оси $0$-мерный (отключен кроме исходной). Ядро$df_{(x,y)}$ перескакивает размерность в начало координат, но тогда критерий сюръективности выполняется еще легче.