การรวมตัวที่อ่อนแอของมาตรการที่ไม่ใช่อะตอมไปสู่ขีด จำกัด ที่ไม่ใช่อะตอมจะรักษาความต่อเนื่องที่แน่นอนหรือไม่?
ปล่อย $\mu_n$, $\mu$ และ $\nu$ เป็นมาตรการโบเรลที่ไม่ใช่อะตอมบนพื้นที่โทโพโลยี Hausdorff ทั่วไปเช่นที่ $\mu_n$ มีความต่อเนื่องอย่างแน่นอนเกี่ยวกับ $\nu$. การลู่เข้าที่อ่อนแอ$\mu_n \to \mu$ (ในความหมายของทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งกำหนดไว้ในรูปของฟังก์ชันต่อเนื่องแบบมีขอบเขต) หมายความว่า $\mu$ มีความต่อเนื่องอย่างแน่นอนเกี่ยวกับ $\nu$เหรอ?
โดยไม่ต้องไม่รวมอะตอมคำตอบคือไม่ดูตัวอย่างที่นี่
หากคำตอบยังไม่อยู่ในสถานการณ์ที่ไม่ใช่อะตอมข้างต้นมันจะสร้างความแตกต่างหรือไม่ที่จะถือว่ามาตรการทั้งหมดเป็น Borel หรือ Radon ปกติ?
คำตอบ
สมมติว่าพื้นที่ของคุณคือ $\mathbb{R}^2$, ปล่อย $\mu$ เป็นการกระจายสม่ำเสมอบนวงกลมแล้วปล่อยให้ $\nu$เป็นมาตรการ Lesbegue ปล่อย$\mu_n$ เป็นการกระจายสม่ำเสมอบนวงแหวน $B[0,1]\setminus B[0,1-1/n]$. แล้ว$\mu_n$ มีความต่อเนื่องอย่างแน่นอนเกี่ยวกับ $\nu$แต่ $\mu_n\to \mu$อย่างอ่อน เช่น$\mu$ ได้รับการสนับสนุนบนชุดค่าว่าง $\mu$ ไม่ต่อเนื่องอย่างแน่นอนเกี่ยวกับมาตรการ Lesbegue
โปรดทราบว่ามาตรการทั้งหมดนี้คือเรดอน