วงจรดิจิทัล - แบบฟอร์มมาตรฐานและมาตรฐาน
เราจะได้รับเงื่อนไขผลิตภัณฑ์บูลีนสี่คำโดยการรวมสองตัวแปร x และ y เข้ากับการดำเนินการและตรรกะ คำศัพท์ผลิตภัณฑ์บูลีนเหล่านี้เรียกว่าmin terms หรือ standard product terms. เงื่อนไขขั้นต่ำคือ x'y ', x'y, xy' และ xy
ในทำนองเดียวกันเราจะได้รับผลรวมบูลีนสี่คำโดยการรวมสองตัวแปร x และ y เข้ากับการดำเนินการหรือตรรกะ เงื่อนไขผลรวมบูลีนเหล่านี้เรียกว่าเป็นMax terms หรือ standard sum terms. เงื่อนไขสูงสุดคือ x + y, x + y ', x' + y และ x '+ y'
ตารางต่อไปนี้แสดงการแทนค่าขั้นต่ำและ MAX เทอมสำหรับ 2 ตัวแปร
| x | ย | เงื่อนไขขั้นต่ำ | เงื่อนไขสูงสุด |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ม. 0 = x'y ' | ม0 = x + y |
| 0 | 1 | ม. 1 = x'y | ม1 = x + y ' |
| 1 | 0 | ม2 = xy ' | ม2 = x '+ y |
| 1 | 1 | ม3 = xy | ม3 = x '+ y' |
หากตัวแปรไบนารีเป็น '0' ตัวแปรนั้นจะแสดงเป็นส่วนเติมเต็มของตัวแปรในระยะต่ำสุดและเป็นตัวแปรในระยะสูงสุด ในทำนองเดียวกันถ้าตัวแปรไบนารีเป็น '1' ตัวแปรนั้นจะแสดงเป็นส่วนเติมเต็มของตัวแปรในระยะสูงสุดและเป็นตัวแปรในระยะต่ำสุด
จากตารางด้านบนเราสามารถสังเกตได้อย่างง่ายดายว่าเงื่อนไขขั้นต่ำและเงื่อนไขสูงสุดเป็นส่วนเสริมซึ่งกันและกัน หากมีตัวแปรบูลีน 'n' จะมี 2 nเงื่อนไขขั้นต่ำและ 2 nเงื่อนไขสูงสุด
แบบฟอร์ม Canonical SoP และ PoS
ตารางความจริงประกอบด้วยชุดอินพุตและเอาต์พุต หากมีตัวแปรอินพุต 'n' จะมีชุดค่าผสมที่เป็นไปได้2 nโดยมีค่าศูนย์และชุดค่าผสม ดังนั้นค่าของตัวแปรเอาต์พุตแต่ละตัวจึงขึ้นอยู่กับการรวมกันของตัวแปรอินพุต ดังนั้นตัวแปรเอาต์พุตแต่ละตัวจะมี '1' สำหรับชุดค่าผสมของตัวแปรอินพุตและ '0' สำหรับชุดค่าผสมอื่น ๆ ของตัวแปรอินพุต
ดังนั้นเราสามารถแสดงตัวแปรเอาต์พุตแต่ละตัวได้สองวิธีดังต่อไปนี้
- แบบฟอร์ม SoP Canonical
- แบบฟอร์ม Canonical PoS
แบบฟอร์ม SoP Canonical
แบบฟอร์ม Canonical SoP หมายถึงแบบฟอร์มผลรวมผลิตภัณฑ์ที่ยอมรับได้ ในรูปแบบนี้คำศัพท์ของผลิตภัณฑ์แต่ละรายการประกอบด้วยตัวอักษรทั้งหมด ดังนั้นข้อกำหนดผลิตภัณฑ์เหล่านี้จึงไม่มีอะไรนอกจากเงื่อนไขขั้นต่ำ ดังนั้นรูปแบบ SoP ที่เป็นที่ยอมรับจึงเรียกอีกอย่างว่าsum of min terms แบบฟอร์ม.
ขั้นแรกให้ระบุเงื่อนไขขั้นต่ำที่ตัวแปรเอาต์พุตเป็นหนึ่งจากนั้นทำตรรกะ OR ของเงื่อนไขขั้นต่ำเหล่านั้นเพื่อให้ได้นิพจน์บูลีน (ฟังก์ชัน) ที่สอดคล้องกับตัวแปรเอาต์พุตนั้น ฟังก์ชันบูลีนนี้จะอยู่ในรูปของผลรวมของพจน์ขั้นต่ำ
ทำตามขั้นตอนเดียวกันสำหรับตัวแปรเอาต์พุตอื่น ๆ ด้วยหากมีตัวแปรเอาต์พุตมากกว่าหนึ่งตัวแปร
ตัวอย่าง
พิจารณาสิ่งต่อไปนี้ truth table.
| อินพุต | เอาต์พุต | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
ที่นี่เอาต์พุต (f) คือ '1' สำหรับอินพุตสี่ชุด เงื่อนไขขั้นต่ำที่เกี่ยวข้องคือ p'qr, pq'r, pqr ', pqr ด้วยการทำตรรกะ OR ของคำศัพท์ขั้นต่ำทั้งสี่นี้เราจะได้รับฟังก์ชันบูลีนของเอาต์พุต (f)
ดังนั้นฟังก์ชันบูลีนของเอาต์พุตคือ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr นี้เป็นcanonical SoP formของเอาต์พุต f. นอกจากนี้เรายังสามารถแสดงฟังก์ชันนี้ในสองสัญกรณ์ต่อไปนี้
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ sum m \ left (3,5,6,7 \ right) $$
ในสมการหนึ่งเราแสดงฟังก์ชันเป็นผลรวมของพจน์ขั้นต่ำตามลำดับ ในสมการอื่นเราใช้สัญลักษณ์สำหรับการรวมของเทอมต่ำสุดเหล่านั้น
แบบฟอร์ม Canonical PoS
แบบฟอร์ม Canonical PoS หมายถึงฟอร์ม Canonical Product of Sums ในรูปแบบนี้ผลรวมแต่ละคำประกอบด้วยตัวอักษรทั้งหมด ดังนั้นเงื่อนไขผลรวมเหล่านี้จึงไม่มีอะไรนอกจากเงื่อนไขสูงสุด ดังนั้นรูปแบบ PoS ที่เป็นที่ยอมรับจึงเรียกอีกอย่างว่าproduct of Max terms แบบฟอร์ม.
ขั้นแรกระบุเงื่อนไขสูงสุดที่ตัวแปรเอาต์พุตเป็นศูนย์จากนั้นทำตรรกะ AND ของเงื่อนไขสูงสุดเหล่านั้นเพื่อให้ได้นิพจน์บูลีน (ฟังก์ชัน) ที่สอดคล้องกับตัวแปรเอาต์พุตนั้น ฟังก์ชันบูลีนนี้จะอยู่ในรูปผลคูณของเงื่อนไขสูงสุด
ทำตามขั้นตอนเดียวกันสำหรับตัวแปรเอาต์พุตอื่น ๆ ด้วยหากมีตัวแปรเอาต์พุตมากกว่าหนึ่งตัวแปร
Example
พิจารณาตารางความจริงเดียวกันของตัวอย่างก่อนหน้านี้ ที่นี่เอาต์พุต (f) คือ '0' สำหรับอินพุตสี่ชุด เงื่อนไขสูงสุดที่สอดคล้องกันคือ p + q + r, p + q + r ', p + q' + r, p '+ q + r ด้วยการทำตรรกะ AND ของคำศัพท์สูงสุดทั้งสี่นี้เราจะได้รับฟังก์ชันบูลีนของเอาต์พุต (f)
ดังนั้นฟังก์ชันบูลีนของเอาต์พุตคือ f = (p + q + r) (p + q + r ') (p + q' + r) (p '+ q + r) นี้เป็นcanonical PoS formของเอาต์พุต f. นอกจากนี้เรายังสามารถแสดงฟังก์ชันนี้ในสองสัญกรณ์ต่อไปนี้
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ left (0,1,2,4 \ right) $$
ในสมการหนึ่งเราแสดงฟังก์ชันเป็นผลคูณของคำศัพท์สูงสุดตามลำดับ ในสมการอื่นเราใช้สัญลักษณ์สำหรับการคูณเงื่อนไขสูงสุดเหล่านั้น
ฟังก์ชันบูลีน f = (p + q + r) (p + q + r ') (p + q' + r) (p '+ q + r) เป็นคู่ของฟังก์ชันบูลีน f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
ดังนั้นทั้งรูปแบบ SoP ที่เป็นที่ยอมรับและรูปแบบ PoS ตามรูปแบบคือ Dualซึ่งกันและกัน. ตามหน้าที่แล้วทั้งสองรูปแบบจะเหมือนกัน ตามข้อกำหนดเราสามารถใช้หนึ่งในสองรูปแบบนี้ได้
แบบฟอร์ม SoP และ PoS มาตรฐาน
เราได้พูดถึงรูปแบบบัญญัติสองรูปแบบในการแสดงเอาต์พุตบูลีน ในทำนองเดียวกันมีสองรูปแบบมาตรฐานในการแสดงเอาต์พุตบูลีน รูปแบบเหล่านี้เป็นเวอร์ชันที่เรียบง่ายของรูปแบบบัญญัติ
- แบบฟอร์ม SoP มาตรฐาน
- แบบฟอร์ม PoS มาตรฐาน
เราจะพูดถึง Logic gates ในบทต่อ ๆ ไป หลักadvantageของรูปแบบมาตรฐานคือจำนวนอินพุตที่ใช้กับลอจิกเกตสามารถลดลงได้ บางครั้งจะมีการลดจำนวนลอจิกเกตทั้งหมดที่ต้องการ
แบบฟอร์ม SoP มาตรฐาน
รูปแบบมาตรฐาน SoP หมายถึง Standard Sum of Productsแบบฟอร์ม. ในรูปแบบนี้คำศัพท์ของผลิตภัณฑ์แต่ละรายการไม่จำเป็นต้องมีตัวอักษรทั้งหมด ดังนั้นข้อกำหนดของผลิตภัณฑ์อาจเป็นข้อกำหนดขั้นต่ำหรือไม่ก็ได้ ดังนั้นแบบฟอร์ม Standard SoP จึงเป็นรูปแบบที่เรียบง่ายของรูปแบบ SoP มาตรฐาน
เราจะได้รูปแบบ Standard SoP ของตัวแปรเอาต์พุตในสองขั้นตอน
- รับรูปแบบ SoP ที่ยอมรับได้ของตัวแปรเอาต์พุต
- ลดความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีนข้างต้นซึ่งอยู่ในรูปแบบ SoP มาตรฐาน
ทำตามขั้นตอนเดียวกันสำหรับตัวแปรเอาต์พุตอื่น ๆ ด้วยหากมีตัวแปรเอาต์พุตมากกว่าหนึ่งตัวแปร บางครั้งอาจไม่สามารถลดความซับซ้อนของรูปแบบ SoP มาตรฐานได้ ในกรณีนั้นทั้งแบบฟอร์มมาตรฐานและแบบฟอร์ม SoP จะเหมือนกัน
Example
แปลงฟังก์ชันบูลีนต่อไปนี้เป็นรูปแบบมาตรฐาน SoP
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
ฟังก์ชันบูลีนที่กำหนดอยู่ในรูปแบบ SoP มาตรฐาน ตอนนี้เราต้องทำให้ฟังก์ชันบูลีนนี้ง่ายขึ้นเพื่อให้ได้รูปแบบ SoP มาตรฐาน
Step 1 - ใช้ไฟล์ Boolean postulate, x + x = x. นั่นหมายความว่าการดำเนินการ Logical OR กับตัวแปรบูลีน 'n' ครั้งใด ๆ จะเท่ากับตัวแปรเดียวกัน ดังนั้นเราสามารถเขียน pqr เทอมสุดท้ายได้อีกสองครั้ง
⇒ฉ = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 - การใช้งาน Distributive law1 เซนต์และ 4 THแง่ 2 ครั้งและ 5 THแง่ 3 RDและ 6 THเงื่อนไข
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)
Step 3 - การใช้งาน Boolean postulate, x + x '= 1 เพื่อลดความซับซ้อนของคำศัพท์ที่มีอยู่ในแต่ละวงเล็บ
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 - การใช้งาน Boolean postulate, x.1 = x สำหรับการทำให้ง่ายขึ้นเหนือสามคำ
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
นี่คือฟังก์ชันบูลีนแบบง่าย ดังนั้นไฟล์standard SoP form ที่สอดคล้องกับรูปแบบ SoP มาตรฐานที่กำหนดคือ f = pq + qr + pr
แบบฟอร์ม PoS มาตรฐาน
รูปแบบมาตรฐาน PoS หมายถึง Standard Product of Sumsแบบฟอร์ม. ในรูปแบบนี้ผลรวมแต่ละคำไม่จำเป็นต้องมีตัวอักษรทั้งหมด ดังนั้นเงื่อนไขผลรวมอาจเป็นเงื่อนไขสูงสุดหรือไม่ก็ได้ ดังนั้นรูปแบบ PoS มาตรฐานจึงเป็นรูปแบบที่เรียบง่ายของรูปแบบ PoS มาตรฐาน
เราจะได้รูปแบบ Standard PoS ของตัวแปรเอาต์พุตในสองขั้นตอน
- รับรูปแบบ PoS ที่ยอมรับได้ของตัวแปรเอาต์พุต
- ลดความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีนข้างต้นซึ่งอยู่ในรูปแบบ PoS ที่ยอมรับได้
ทำตามขั้นตอนเดียวกันสำหรับตัวแปรเอาต์พุตอื่น ๆ ด้วยหากมีตัวแปรเอาต์พุตมากกว่าหนึ่งตัวแปร บางครั้งอาจไม่สามารถลดความซับซ้อนของรูปแบบ PoS ที่ยอมรับได้ ในกรณีนั้นทั้งรูปแบบ PoS มาตรฐานและแบบมาตรฐานจะเหมือนกัน
Example
แปลงฟังก์ชันบูลีนต่อไปนี้เป็นรูปแบบ PoS มาตรฐาน
ฉ = (p + q + r). (p + q + r '). (p + q' + r). (p '+ q + r)
ฟังก์ชันบูลีนที่กำหนดอยู่ในรูปแบบ PoS ที่ยอมรับได้ ตอนนี้เราต้องลดความซับซ้อนของฟังก์ชันบูลีนนี้เพื่อให้ได้รูปแบบ PoS มาตรฐาน
Step 1 - ใช้ไฟล์ Boolean postulate, xx = x. นั่นหมายความว่าการดำเนินการ Logical AND กับตัวแปรบูลีน 'n' ครั้งใด ๆ จะเท่ากับตัวแปรเดียวกัน เราสามารถเขียนพจน์แรก p + q + r ได้อีกสองครั้ง
⇒ f = (p + q + r) (p + q + r) (p + q + r) (p + q + r ') (p + q' + r) (p '+ q + r)
Step 2 - การใช้งาน Distributive law,x + (YZ) = (x + y). (x + z) 1 เซนต์และ 4 THวงเล็บ 2 ครั้งและ 5 THวงเล็บ 3 RDและ 6 THวงเล็บ
⇒ f = (p + q + rr ') (p + r + qq') (q + r + pp ')
Step 3 - การใช้งาน Boolean postulate, x.x '= 0 เพื่อลดความซับซ้อนของคำศัพท์ที่มีอยู่ในแต่ละวงเล็บ
⇒ฉ = (p + q + 0) (p + r + 0) (q + r + 0)
Step 4 - การใช้งาน Boolean postulate, x + 0 = x เพื่อลดความซับซ้อนของคำศัพท์ที่มีอยู่ในแต่ละวงเล็บ
⇒ f = (p + q). (p + r). (q + r)
⇒ f = (p + q). (q + r). (p + r)
นี่คือฟังก์ชันบูลีนแบบง่าย ดังนั้นไฟล์standard PoS form ที่สอดคล้องกับรูปแบบ PoS มาตรฐานที่กำหนดคือ f = (p + q).(q + r).(p + r). นี้เป็นdual ของฟังก์ชันบูลีน f = pq + qr + pr
ดังนั้นทั้งแบบฟอร์ม Standard SoP และ Standard PoS จึงเป็นแบบ Dual ต่อกัน