Vandermonde-Matrix généralisée

Question

Laisser $z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\setminus\left\lbrace 0 \right\rbrace$ être des nombres complexes distincts, $\lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_n$ entiers positifs et définir $$A = \left( z_i^{\lambda_k}\right)_{i,j = 1,\ldots, n} = \begin{pmatrix} z_1^{\lambda_1} & z_1^{\lambda_2} & \cdots & z_1^{\lambda_n} \\ z_2^{\lambda_1} & z_2^{\lambda_2} & \cdots & z_2^{\lambda_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_n^{\lambda_1} & z_n^{\lambda_2} & \cdots & z_n^{\lambda_n} \end{pmatrix}.$$ Est-il vrai que $A$ est inversible?

J'ai trouvé cette question connexe mais elle traite des champs finis où dans mon cas le champ sous-jacent est le plan complexe.

Si $\lambda_k = k -1 $ pour $k = 1, \ldots, n$, puis $A$est le Vandermonde-Matrix bien connu, donc dans ce cas, la réponse est positive. J'ai essayé de calculer le déterminant de$A$ de la même manière que si $A$ est la Vandermonde-Matrix mais sans succès.

Quelqu'un a-t-il une référence ou une preuve qui répond à cette question?

Merci d'avance...

Answer 1

Ce n'est pas forcément inversible. Considérer$z_1 = 1, z_2 = -1$, avec $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4$. Alors la matrice résultante est$2 \times 2$ matrice de uns, qui n'est clairement pas inversible.

Pour voir pourquoi cela en général n'est pas nécessairement inversible, considérez la matrice de Vandermonde comme une interpolation polynomiale. La matrice Vandermonde normale, par exemple, donne le$(n - 1)$polynôme de degré traversant $n$points distincts. Ce que vous demandez ici, c'est de trouver un polynôme dont les coefficients sont tous nuls sauf les coefficients aux termes$x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}, \cdots, x^{\lambda_n}$. Pour construire un contre-exemple, il suffit de noter qu'un tel polynôme a$\lambda_n - \lambda_1$ racines différentes de zéro, et si $n$ de ces $\lambda_n - \lambda_1$ les racines sont distinctes, on pourrait trouver $n$ des valeurs distinctes à donner $z_1, \cdots, z_n$ et que la matrice soit singulière (pourquoi?).