アナログ通信-AM変調器

この章では、振幅変調波を生成する変調器について説明します。次の2つの変調器はAM波を生成します。

  • 二乗則変調器
  • スイッチング変調器

二乗法変調器

以下は、二乗則変調器のブロック図です。

変調信号と搬送波信号をそれぞれ$ m \ left(t \ right)$と$ A \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$と表記します。これらの2つの信号は、サマー(加算器)ブロックへの入力として適用されます。このサマーブロックは、変調信号とキャリア信号の追加である出力を生成します。数学的には、次のように書くことができます

$$ V_1t = m \ left(t \ right)+ A_c \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$$

この信号$ V_1t $は、ダイオードなどの非線形デバイスへの入力として適用されます。ダイオードの特性は二乗則と密接に関係しています。

$ V_2t = k_1V_1 \ left(t \ right)+ k_2V_1 ^ 2 \ left(t \ right)$ (式1)

ここで、$ k_1 $と$ k_2 $は定数です。

式1に$ V_1 \ left(t \ right)$を代入します

$$ V_2 \ left(t \ right)= k_1 \ left [m \ left(t \ right)+ A_c \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)\ right] + k_2 \ left [m \ left(t \ right)+ A_c \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)\ right] ^ 2 $$

$ \ Rightarrow V_2 \ left(t \ right)= k_1 m \ left(t \ right)+ k_1 A_c \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)+ k_2 m ^ 2 \ left(t \ right)+ $

$ k_2A_c ^ 2 \ cos ^ 2 \ left(2 \ pi f_ct \ right)+ 2k_2m \ left(t \ right)A_c \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$

$ \ Rightarrow V_2 \ left(t \ right)= k_1 m \ left(t \ right)+ k_2 m ^ 2 \ left(t \ right)+ k_2 A ^ 2_c \ cos ^ 2 \ left(2 \ pi f_ct \右)+ $

$ k_1A_c \ left [1+ \ left(\ frac {2k_2} {k_1} \ right)m \ left(t \ right)\ right] \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$

上記の式の最後の項は目的のAM波を表し、上記の式の最初の3つの項は不要です。したがって、バンドパスフィルターの助けを借りて、AM波のみを通過させ、最初の3つの項を削除することができます。

したがって、二乗則変調器の出力は次のようになります。

$$ s \ left(t \ right)= k_1A_c \ left [1+ \ left(\ frac {2k_2} {k_1} \ right)m \ left(t \ right)\ right] \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$$

AM波の標準方程式は

$$ s \ left(t \ right)= A_c \ left [1 + k_am \ left(t \ right)\ right] \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$$

ここで、$ K_a $は振幅感度です

二乗則変調器の出力をAM波の標準方程式と比較することにより、スケーリング係数を$ k_1 $として、振幅感度$ k_a $を$ \ frac {2k_2} {k1} $として取得します。

スイッチング変調器

以下は、スイッチング変調器のブロック図です。

スイッチング変調器は、二乗則変調器に似ています。唯一の違いは、二乗法変調器では、ダイオードが非線形モードで動作するのに対し、スイッチング変調器では、ダイオードが理想的なスイッチとして動作する必要があることです。

変調信号と搬送波信号をそれぞれ$ m \ left(t \ right)$と$ c \ left(t \ right)= A_c \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$と表記します。これらの2つの信号は、サマー(加算器)ブロックへの入力として適用されます。サマーブロックは、変調信号とキャリア信号の追加である出力を生成します。数学的には、次のように書くことができます

$$ V_1 \ left(t \ right)= m \ left(t \ right)+ c \ left(t \ right)= m \ left(t \ right)+ A_c \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right )$$

この信号$ V_1 \ left(t \ right)$は、ダイオードの入力として適用されます。搬送波信号$ A_c $の振幅と比較した場合、変調信号の大きさが非常に小さいと仮定します。したがって、ダイオードのオンとオフの動作は、キャリア信号$ c \ left(t \ right)$によって制御されます。つまり、ダイオードは$ c \ left(t \ right)> 0 $のときに順方向にバイアスされ、$ c \ left(t \ right)<0 $のときに逆方向にバイアスされます。

したがって、ダイオードの出力は次のようになります。

$$ V_2 \ left(t \ right)= \ left \ {\ begin {matrix} V_1 \ left(t \ right)&if&c \ left(t \ right)> 0 \\ 0&if&c \ left(t \ right)<0 \ end {matrix} \ right。$$

これは次のように概算できます

$ V_2 \ left(t \ right)= V_1 \ left(t \ right)x \ left(t \ right)$ (式2)

ここで、$ x \ left(t \ right)$は、期間が$ T = \ frac {1} {f_c} $の周期的なパルス列です。

この周期的なパルス列のフーリエ級数表現は次のとおりです。

$$ x \ left(t \ right)= \ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left(-1 \右)^ n-1} {2n-1} \ cos \ left(2 \ pi \ left(2n-1 \ right)f_ct \ right)$$

$$ \ Rightarrow x \ left(t \ right)= \ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)-\ frac {2} { 3 \ pi} \ cos \ left(6 \ pi f_ct \ right)+ .... $$

式2の$ V_1 \ left(t \ right)$と$ x \ left(t \ right)$の値を代入します。

$ V_2 \ left(t \ right)= \ left [m \ left(t \ right)+ A_c \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)\ right] \ left [\ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)-\ frac {2} {3 \ pi} \ cos \ left(6 \ pi f_ct \ right)+....。 \ right] $

$ V_2 \ left(t \ right)= \ frac {m \ left(t \ right)} {2} + \ frac {A_c} {2} \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)+ \ frac { 2m \ left(t \ right)} {\ pi} \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)+ \ frac {2A_c} {\ pi} \ cos ^ 2 \ left(2 \ pi f_ct \ right)- $

$ \ frac {2m \ left(t \ right)} {3 \ pi} \ cos \ left(6 \ pi f_ct \ right)-\ frac {2A_c} {3 \ pi} \ cos \ left(2 \ pif_ct \ right)\ cos \ left(6 \ pi f_ct \ right)+ ..... $

$ V_2 \ left(t \ right)= \ frac {A_c} {2} \ left(1+ \ left(\ frac {4} {\ pi A_c} \ right)m \ left(t \ right)\ right) \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)+ \ frac {m \ left(t \ right)} {2} + \ frac {2A_c} {\ pi} \ cos ^ 2 \ left(2 \ pi f_ct \右)-$

$ \ frac {2m \ left(t \ right)} {3 \ pi} \ cos \ left(6 \ pi f_ct \ right)-\ frac {2A_c} {3 \ pi} \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)\ cos \ left(6 \ pi f_ct \ right)+ ..... $

1回目の上記方程式の用語は、所望のAM波を表し、残りの項は、不要な用語です。したがって、バンドパスフィルターの助けを借りて、AM波のみを通過させ、残りの項を排除することができます。

したがって、スイッチング変調器の出力は次のようになります。

$$ s \ left(t \ right)= \ frac {A_c} {2} \ left(1+ \ left(\ frac {4} {\ pi A_c} \ right)m \ left(t \ right)\ right )\ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$$

AM波の標準方程式は次のとおりです。

$$ s \ left(t \ right)= A_c \ left [1 + k_am \ left(t \ right)\ right] \ cos \ left(2 \ pi f_ct \ right)$$

ここで、$ k_a $は振幅感度です。

スイッチング変調器の出力をAM波の標準方程式と比較することにより、スケーリング係数を0.5、振幅感度$ k_a $を$ \ frac {4} {\ pi A_c} $として取得します。