アナログ通信-AM変調器
この章では、振幅変調波を生成する変調器について説明します。次の2つの変調器はAM波を生成します。
- 二乗則変調器
- スイッチング変調器
二乗法変調器
以下は、二乗則変調器のブロック図です。
変調信号と搬送波信号をそれぞれ$ m \ left（t \ right）$と$ A \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$と表記します。これらの2つの信号は、サマー（加算器）ブロックへの入力として適用されます。このサマーブロックは、変調信号とキャリア信号の追加である出力を生成します。数学的には、次のように書くことができます
$$ V_1t = m \ left（t \ right）+ A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$$
この信号$ V_1t $は、ダイオードなどの非線形デバイスへの入力として適用されます。ダイオードの特性は二乗則と密接に関係しています。
$ V_2t = k_1V_1 \ left（t \ right）+ k_2V_1 ^ 2 \ left（t \ right）$ （式1）
ここで、$ k_1 $と$ k_2 $は定数です。
式1に$ V_1 \ left（t \ right）$を代入します
$$ V_2 \ left（t \ right）= k_1 \ left [m \ left（t \ right）+ A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）\ right] + k_2 \ left [m \ left（t \ right）+ A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）\ right] ^ 2 $$
$ \ Rightarrow V_2 \ left（t \ right）= k_1 m \ left（t \ right）+ k_1 A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）+ k_2 m ^ 2 \ left（t \ right）+ $
$ k_2A_c ^ 2 \ cos ^ 2 \ left（2 \ pi f_ct \ right）+ 2k_2m \ left（t \ right）A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$
$ \ Rightarrow V_2 \ left（t \ right）= k_1 m \ left（t \ right）+ k_2 m ^ 2 \ left（t \ right）+ k_2 A ^ 2_c \ cos ^ 2 \ left（2 \ pi f_ct \右）+ $
$ k_1A_c \ left [1+ \ left（\ frac {2k_2} {k_1} \ right）m \ left（t \ right）\ right] \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$
上記の式の最後の項は目的のAM波を表し、上記の式の最初の3つの項は不要です。したがって、バンドパスフィルターの助けを借りて、AM波のみを通過させ、最初の3つの項を削除することができます。
したがって、二乗則変調器の出力は次のようになります。
$$ s \ left（t \ right）= k_1A_c \ left [1+ \ left（\ frac {2k_2} {k_1} \ right）m \ left（t \ right）\ right] \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$$
AM波の標準方程式は
$$ s \ left（t \ right）= A_c \ left [1 + k_am \ left（t \ right）\ right] \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$$
ここで、$ K_a $は振幅感度です
二乗則変調器の出力をAM波の標準方程式と比較することにより、スケーリング係数を$ k_1 $として、振幅感度$ k_a $を$ \ frac {2k_2} {k1} $として取得します。
スイッチング変調器
以下は、スイッチング変調器のブロック図です。
スイッチング変調器は、二乗則変調器に似ています。唯一の違いは、二乗法変調器では、ダイオードが非線形モードで動作するのに対し、スイッチング変調器では、ダイオードが理想的なスイッチとして動作する必要があることです。
変調信号と搬送波信号をそれぞれ$ m \ left（t \ right）$と$ c \ left（t \ right）= A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$と表記します。これらの2つの信号は、サマー（加算器）ブロックへの入力として適用されます。サマーブロックは、変調信号とキャリア信号の追加である出力を生成します。数学的には、次のように書くことができます
$$ V_1 \ left（t \ right）= m \ left（t \ right）+ c \ left（t \ right）= m \ left（t \ right）+ A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right ）$$
この信号$ V_1 \ left（t \ right）$は、ダイオードの入力として適用されます。搬送波信号$ A_c $の振幅と比較した場合、変調信号の大きさが非常に小さいと仮定します。したがって、ダイオードのオンとオフの動作は、キャリア信号$ c \ left（t \ right）$によって制御されます。つまり、ダイオードは$ c \ left（t \ right）> 0 $のときに順方向にバイアスされ、$ c \ left（t \ right）<0 $のときに逆方向にバイアスされます。
したがって、ダイオードの出力は次のようになります。
$$ V_2 \ left（t \ right）= \ left \ {\ begin {matrix} V_1 \ left（t \ right）＆if＆c \ left（t \ right）> 0 \\ 0＆if＆c \ left（t \ right）<0 \ end {matrix} \ right。$$
これは次のように概算できます
$ V_2 \ left（t \ right）= V_1 \ left（t \ right）x \ left（t \ right）$ （式2）
ここで、$ x \ left（t \ right）$は、期間が$ T = \ frac {1} {f_c} $の周期的なパルス列です。
この周期的なパルス列のフーリエ級数表現は次のとおりです。
$$ x \ left（t \ right）= \ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left（-1 \右）^ n-1} {2n-1} \ cos \ left（2 \ pi \ left（2n-1 \ right）f_ct \ right）$$
$$ \ Rightarrow x \ left（t \ right）= \ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）-\ frac {2} { 3 \ pi} \ cos \ left（6 \ pi f_ct \ right）+ .... $$
式2の$ V_1 \ left（t \ right）$と$ x \ left（t \ right）$の値を代入します。
$ V_2 \ left（t \ right）= \ left [m \ left（t \ right）+ A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）\ right] \ left [\ frac {1} {2} + \ frac {2} {\ pi} \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）-\ frac {2} {3 \ pi} \ cos \ left（6 \ pi f_ct \ right）+....。 \ right] $
$ V_2 \ left（t \ right）= \ frac {m \ left（t \ right）} {2} + \ frac {A_c} {2} \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）+ \ frac { 2m \ left（t \ right）} {\ pi} \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）+ \ frac {2A_c} {\ pi} \ cos ^ 2 \ left（2 \ pi f_ct \ right）- $
$ \ frac {2m \ left（t \ right）} {3 \ pi} \ cos \ left（6 \ pi f_ct \ right）-\ frac {2A_c} {3 \ pi} \ cos \ left（2 \ pif_ct \ right）\ cos \ left（6 \ pi f_ct \ right）+ ..... $
$ V_2 \ left（t \ right）= \ frac {A_c} {2} \ left（1+ \ left（\ frac {4} {\ pi A_c} \ right）m \ left（t \ right）\ right） \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）+ \ frac {m \ left（t \ right）} {2} + \ frac {2A_c} {\ pi} \ cos ^ 2 \ left（2 \ pi f_ct \右）-$
$ \ frac {2m \ left（t \ right）} {3 \ pi} \ cos \ left（6 \ pi f_ct \ right）-\ frac {2A_c} {3 \ pi} \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）\ cos \ left（6 \ pi f_ct \ right）+ ..... $
1回目の上記方程式の用語は、所望のAM波を表し、残りの項は、不要な用語です。したがって、バンドパスフィルターの助けを借りて、AM波のみを通過させ、残りの項を排除することができます。
したがって、スイッチング変調器の出力は次のようになります。
$$ s \ left（t \ right）= \ frac {A_c} {2} \ left（1+ \ left（\ frac {4} {\ pi A_c} \ right）m \ left（t \ right）\ right ）\ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$$
AM波の標準方程式は次のとおりです。
$$ s \ left（t \ right）= A_c \ left [1 + k_am \ left（t \ right）\ right] \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$$
ここで、$ k_a $は振幅感度です。
スイッチング変調器の出力をAM波の標準方程式と比較することにより、スケーリング係数を0.5、振幅感度$ k_a $を$ \ frac {4} {\ pi A_c} $として取得します。