振幅変調
連続波は間隔を空けずに連続的に進行し、情報を含むのはベースバンドメッセージ信号です。この波は変調する必要があります。
標準の定義によれば、「キャリア信号の振幅は、変調信号の瞬間的な振幅に応じて変化します。」つまり、情報を含まない搬送波信号の振幅は、情報を含む信号の振幅に応じて、各瞬間で変化します。これは、次の図でよく説明できます。
最初の図は、メッセージ信号である変調波を示しています。次は搬送波です。これは高周波信号であり、情報は含まれていません。一方、最後のものは結果として生じる変調波です。
搬送波の正と負のピークが虚線で相互接続されていることがわかります。この線は、変調信号の正確な形状を再現するのに役立ちます。搬送波上のこの架空の線は、Envelope。メッセージ信号と同じです。
数式
これらの波の数式は次のとおりです。
波の時間領域表現
変調信号を、
$$ m \ left（t \ right）= A_m \ cos \ left（2 \ pi f_mt \ right）$$
キャリア信号は、
$$ c \ left（t \ right）= A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$$
どこ、
$ A_m $と$ A_c $は、それぞれ変調信号と搬送波信号の振幅です。
$ f_m $と$ f_c $は、それぞれ変調信号と搬送波信号の周波数です。
すると、振幅変調波の式は次のようになります。
$ s（t）= \ left [A_c + A_m \ cos \ left（2 \ pi f_mt \ right）\ right] \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$ （式1）
変調指数
搬送波は、変調された後、変調されたレベルが計算される場合、そのような試みは次のように呼ばれます。 Modulation Index または Modulation Depth。搬送波が受ける変調のレベルを示します。
式1を次のように並べ替えます。
$ s（t）= A_c \ left [1+ \ left（\ frac {A_m} {A_c} \ right）\ cos \ left（2 \ pi f_mt \ right）\ right] \ cos \ left（2 \ pif_ct \ right）$
$ \ Rightarrow s \ left（t \ right）= A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left（2 \ pi f_m t \ right）\ right] \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$ （式2）
ここで、$ \ mu $は変調指数であり、$ A_m $と$ A_c $の比率に等しくなります。数学的には、次のように書くことができます
$ \ mu = \ frac {A_m} {A_c} $ （式3）
したがって、メッセージ信号と搬送波信号の振幅がわかっている場合は、上記の式を使用して変調指数の値を計算できます。
ここで、式1を考慮して、変調指数のもう1つの式を導き出します。変調波の最大振幅と最小振幅がわかっている場合、この式を使用して変調指数値を計算できます。
$ A_ \ max $と$ A_ \ min $を変調波の最大振幅と最小振幅とします。
$ \ cos \ left（2 \ pi f_mt \ right）$が1の場合、変調波の最大振幅を取得します。
$ \ Rightarrow A_ \ max = A_c + A_m $ （式4）
$ \ cos \ left（2 \ pi f_mt \ right）$が-1の場合、変調波の最小振幅を取得します。
$ \ Rightarrow A_ \ min = A_c-A_m $ （式5）
式4と式5を追加します。
$$ A_ \ max + A_ \ min = A_c + A_m + A_c-A_m = 2A_c $$
$ \ Rightarrow A_c = \ frac {A_ \ max + A_ \ min} {2} $ （式6）
式4から式5を引きます。
$$ A_ \ max-A_ \ min = A_c + A_m- \ left（A_c -A_m \ right）= 2A_m $$
$ \ Rightarrow A_m = \ frac {A_ \ max --A_ \ min} {2} $ （式7）
式7と式6の比率は次のようになります。
$$ \ frac {A_m} {A_c} = \ frac {\ left（A_ {max} -A_ {min} \ right）/ 2} {\ left（A_ {max} + A_ {min} \ right）/ 2 } $$
$ \ Rightarrow \ mu = \ frac {A_ \ max --A_ \ min} {A_ \ max + A_ \ min} $ （式8）
したがって、式3と式8は、変調指数の2つの式です。変調指数または変調深度は、多くの場合、変調のパーセンテージと呼ばれるパーセンテージで表されます。取得しますpercentage of modulation、変調指数値に100を掛けるだけです。
完全な変調を行うには、変調指数の値を1にする必要があります。これは、変調のパーセンテージが100％であることを意味します。
たとえば、この値が1未満の場合、つまり変調指数が0.5の場合、変調された出力は次の図のようになります。それはとして呼ばれますUnder-modulation。そのような波はと呼ばれますunder-modulated wave。
変調指数の値が1より大きい場合、つまり1.5程度の場合、波は次のようになります。 over-modulated wave。次の図のようになります。
変調指数の値が増加すると、キャリアは180 °の位相反転を経験します。これにより、追加の側波帯が発生し、波が歪んでしまいます。このような過変調波は干渉を引き起こしますが、これを排除することはできません。
AM波の帯域幅
Bandwidth（BW）は、信号の最高周波数と最低周波数の差です。数学的には、次のように書くことができます
$$ BW = f_ {max} -f_ {min} $$
次の振幅変調波の方程式を考えてみましょう。
$$ s \ left（t \ right）= A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left（2 \ pi f_m t \ right）\ right] \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）$$
$$ \ Rightarrow s \ left（t \ right）= A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）+ A_c \ mu \ cos（2 \ pi f_ct）\ cos \ left（2 \ pi f_mt \ right） $$
$ \ Rightarrow s \ left（t \ right）= A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）+ \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left（f_c + f_m \ right）t \ right] + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left（f_c-f_m \ right）t \ right] $
したがって、振幅変調波には3つの周波数があります。それらは、搬送周波数$ f_c $、上側波帯周波数$ f_c + f_m $、下側波帯周波数$ f_c-f_m $です。
ここに、
$ f_ {max} = f_c + f_m $および$ f_ {min} = f_c-f_m $
帯域幅の式に$ f_ {max} $と$ f_ {min} $の値を代入します。
$$ BW = f_c + f_m- \ left（f_c-f_m \ right）$$
$$ \ Rightarrow BW = 2f_m $$
したがって、振幅変調波に必要な帯域幅は、変調信号の周波数の2倍であると言えます。
AM波の検出力の計算
次の振幅変調波の方程式を考えてみましょう。
$ \ s \ left（t \ right）= A_c \ cos \ left（2 \ pi f_ct \ right）+ \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left（f_c + f_m \ right）t \ right] + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left（f_c-f_m \ right）t \ right] $
AM波のパワーは、キャリア、上側波帯、および下側波帯の周波数成分のパワーの合計に等しくなります。
$$ P_t = P_c + P_ {USB} + P_ {LSB} $$
cos信号のパワーの標準式は次のとおりです。
$$ P = \ frac {{v_ {rms}} ^ {2}} {R} = \ frac {\ left（v_m / \ sqrt {2} \ right）^ 2} {2} $$
どこ、
$ v_ {rms} $は、cos信号のrms値です。
$ v_m $は、cos信号のピーク値です。
まず、キャリアのパワー、上側波帯と下側波帯を1つずつ見つけてみましょう。
キャリアパワー
$$ P_c = \ frac {\ left（A_c / \ sqrt {2} \ right）^ 2} {R} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} $$
上側波帯電力
$$ P_ {USB} = \ frac {\ left（A_c \ mu / 2 \ sqrt {2} \ right）^ 2} {R} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
同様に、上側波帯電力と同じ下側波帯電力が得られます。
$$ P_ {LSB} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
ここで、AM波のパワーを得るために、これら3つのパワーを追加しましょう。
$$ P_t = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2} {8R} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$
$$ \ Rightarrow P_t = \ left（\ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} \ right）\ left（1+ \ frac {\ mu ^ 2} {4} + \ frac {\ mu ^ 2} {4} \ right）$$
$$ \ Rightarrow P_t = P_c \ left（1+ \ frac {\ mu ^ 2} {2} \ right）$$
キャリアパワーと変調指数がわかっている場合、上記の式を使用してAM波のパワーを計算できます。
変調指数$ \ mu = 1 $の場合、AM波のパワーはキャリアパワーの1.5倍に等しくなります。したがって、AM波を送信するために必要な電力は、完全な変調のためのキャリア電力の1.5倍です。