Obwody cyfrowe - algebra Boole'a

Boolean Algebrajest algebrą, która zajmuje się liczbami binarnymi i zmiennymi binarnymi. Dlatego jest również nazywany algebrą binarną lub algebrą logiczną. Matematyk imieniem George Boole opracował tę algebrę w 1854 roku. Zmienne używane w tej algebrze są również nazywane zmiennymi boolowskimi.

Zakres napięć odpowiadający logice „High” jest reprezentowany przez „1”, a zakres napięć odpowiadający logice „Low” jest reprezentowany przez „0”.

Postulaty i podstawowe prawa algebry Boole'a

W tej sekcji omówimy postulaty Boole'a i podstawowe prawa używane w algebrze Boole'a. Są one przydatne przy minimalizowaniu funkcji boolowskich.

Postulaty boolowskie

Rozważmy liczby binarne 0 i 1, zmienną logiczną (x) i jej uzupełnienie (x '). Zmienna boolowska lub jej uzupełnienie są znane jakoliteral. Cztery możliwelogical OR operacje między tymi literałami i liczbami binarnymi są pokazane poniżej.

x + 0 = x

x + 1 = 1

x + x = x

x + x '= 1

Podobnie cztery możliwe logical AND operacje między tymi literałami i liczbami binarnymi są pokazane poniżej.

x.1 = x

x.0 = 0

xx = x

x.x '= 0

To są proste postulaty boolowskie. Możemy łatwo zweryfikować te postulaty, zastępując zmienną boolowską „0” lub „1”.

Note- Uzupełnienie dopełnienia dowolnej zmiennej boolowskiej jest równe samej zmiennej. tj. (x ')' = x.

Podstawowe prawa algebry Boole'a

Poniżej przedstawiono trzy podstawowe prawa algebry Boole'a.

Prawo przemienne
Prawo stowarzyszeniowe
Prawo dystrybucyjne

Prawo przemienne

Jeśli jakakolwiek operacja logiczna dwóch zmiennych boolowskich daje ten sam wynik, niezależnie od kolejności tych dwóch zmiennych, wówczas ta operacja logiczna jest nazywana Commutative. Logiczne OR i logiczne operacje AND dwóch zmiennych boolowskich x i y są pokazane poniżej

x + y = y + x

xy = yx

Symbol „+” oznacza operację logiczną LUB. Podobnie symbol „.” wskazuje operację logiczną AND i jej reprezentacja jest opcjonalna. Prawo przemienne jest zgodne z logicznymi operacjami LUB i logicznymi operacjami AND.

Prawo stowarzyszeniowe

Jeśli operacja logiczna dowolnych dwóch zmiennych boolowskich jest wykonywana najpierw, a następnie ta sama operacja jest wykonywana z pozostałą zmienną, która daje ten sam wynik, to ta operacja logiczna jest nazywana Associative. Operacje logiczne OR i logiczne AND operacji trzech zmiennych boolowskich x, y i z przedstawiono poniżej.

x + (y + z) = (x + y) + z

x. (yz) = (xy). z

Prawo asocjacyjne jest zgodne z operacjami logicznymi OR i logicznymi operacjami AND.

Prawo dystrybucyjne

Jeśli jakakolwiek operacja logiczna może być rozłożona na wszystkie warunki obecne w funkcji boolowskiej, wówczas ta operacja logiczna jest nazywana Distributive. Rozkład operacji logicznych OR i logicznych AND trzech zmiennych boolowskich x, y i z pokazano poniżej.

x. (y + z) = xy + xz

x + (yz) = (x + y). (x + z)

Prawo podziału jest zgodne z logicznymi operacjami LUB i logicznymi operacjami AND.

Oto podstawowe prawa algebry Boole'a. Możemy łatwo zweryfikować te prawa, zastępując zmienne boolowskie „0” lub „1”.

Twierdzenia algebry Boole'a

Poniższe dwa twierdzenia są używane w algebrze Boole'a.

Twierdzenie o dualności
Twierdzenie DeMorgana

Twierdzenie o dualności

To twierdzenie stwierdza, że dualfunkcji boolowskiej uzyskuje się poprzez zamianę operatora logicznego AND na operator logiczny OR i zer na jedynki. Dla każdej funkcji boolowskiej będzie odpowiadała funkcja Dual.

Podzielmy równania (relacje) Boole'a, które omówiliśmy w części postulatów boolowskich i podstawowych praw, na dwie grupy. Poniższa tabela przedstawia te dwie grupy.

Grupa 1	Grupa 2
x + 0 = x	x.1 = x
x + 1 = 1	x.0 = 0
x + x = x	xx = x
x + x '= 1	x.x '= 0
x + y = y + x	xy = yx
x + (y + z) = (x + y) + z	x. (yz) = (xy). z
x. (y + z) = xy + xz	x + (yz) = (x + y). (x + z)

W każdym rzędzie znajdują się dwa równania boolowskie, które są do siebie podwójne. Możemy zweryfikować wszystkie te równania Boole'a z Grupy 1 i Grupy 2, używając twierdzenia o dualności.

Twierdzenie DeMorgana

To twierdzenie jest przydatne w znajdowaniu complement of Boolean function. Stwierdza, że dopełnienie logicznego OR co najmniej dwóch zmiennych boolowskich jest równe logicznemu AND każdej uzupełnianej zmiennej.

Twierdzenie DeMorgana z 2 zmiennymi boolowskimi xiy można przedstawić jako

(x + y) '= x'.y'

Podwójna powyższa funkcja boolowska to

(xy) '= x' + y '

Dlatego uzupełnienie logicznego AND dwóch zmiennych boolowskich jest równe logicznemu LUB każdej uzupełnianej zmiennej. Podobnie, możemy zastosować twierdzenie DeMorgana również do więcej niż 2 zmiennych boolowskich.

Uproszczenie funkcji boolowskich

Do tej pory omawialiśmy postulaty, podstawowe prawa i twierdzenia algebry Boole'a. Teraz uprośćmy niektóre funkcje boolowskie.

Przykład 1

Pozwól nam simplify funkcja boolowska, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr

Możemy uprościć tę funkcję na dwa sposoby.

Method 1

Biorąc pod uwagę funkcję boolowską, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.

Step 1- W pierwszym i drugim okresie r jest powszechne, aw trzecim i czwartym okresie pq jest wspólne. Więc weź wspólne warunki, używającDistributive law.

⇒ f = (p'q + pq ') r + pq (r' + r)

Step 2- Terminy występujące w pierwszym nawiasie można uprościć do operacji Ex-OR. Terminy występujące w drugim nawiasie można uprościć do „1”, używającBoolean postulate

⇒ f = (p ⊕q) r + pq (1)

Step 3- Pierwszego terminu nie da się dalej uprościć. Ale drugi termin można uprościć do pq, używającBoolean postulate.

⇒ f = (p ⊕q) r + pq

Dlatego uproszczoną funkcją boolowską jest f = (p⊕q)r + pq

Method 2

Biorąc pod uwagę funkcję boolowską, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.

Step 1 - Użyj Boolean postulate, x + x = x. Oznacza to, że operacja Logiczne LUB z dowolną zmienną logiczną „n” razy będzie równa tej samej zmiennej. Więc możemy napisać ostatni wyraz pqr jeszcze dwa razy.

⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr

Step 2 - Użyj Distributive law1 ^ul i 4 ^th warunkach, 2 ^-go i 5 ^TH terminy, 3 ^rd i 6 ^th warunkach.

⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)

Step 3 - Użyj Boolean postulate, x + x '= 1 w celu uproszczenia terminów występujących w każdym nawiasie.

⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)

Step 4 - Użyj Boolean postulate, x.1 = x dla uproszczenia powyższych trzech terminów.

⇒ f = qr + pr + pq

⇒ f = pq + qr + pr

Dlatego uproszczoną funkcją boolowską jest f = pq + qr + pr.

Tak więc otrzymaliśmy dwie różne funkcje boolowskie po uproszczeniu danej funkcji boolowskiej w każdej metodzie. Funkcjonalnie te dwie funkcje boolowskie są takie same. Tak więc, w oparciu o wymaganie, możemy wybrać jedną z tych dwóch funkcji boolowskich.