Obwody cyfrowe - formularze kanoniczne i standardowe
Otrzymamy cztery logiczne wyrazy iloczynu, łącząc dwie zmienne xiy za pomocą operacji logicznej AND. Te logiczne terminy dotyczące produktów są nazywane jakomin terms lub standard product terms. Terminy min to x'y ', x'y, xy' i xy.
Podobnie, otrzymamy cztery logiczne wyrazy sumaryczne, łącząc dwie zmienne xiy za pomocą logicznej operacji LUB. Te sumy logiczne są nazywane jakoMax terms lub standard sum terms. Terminy Max to x + y, x + y ', x' + y i x '+ y'.
W poniższej tabeli przedstawiono terminy minimalne i maksymalne dla 2 zmiennych.
| x | y | Minimalne terminy | Maksymalna liczba terminów |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x'y ' | M 0 = x + y |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | M 1 = x + y ' |
| 1 | 0 | m 2 = xy ' | M 2 = x '+ y |
| 1 | 1 | m 3 = xy | M 3 = x '+ y' |
Jeśli zmienna binarna ma wartość „0”, to jest reprezentowana jako uzupełnienie zmiennej w okresie minimalnym i jako sama zmienna w okresie maksymalnym. Podobnie, jeśli zmienna binarna ma wartość „1”, to jest reprezentowana jako uzupełnienie zmiennej w terminie Max i jako sama zmienna w terminie minimalnym.
Z powyższej tabeli można łatwo zauważyć, że terminy minimalne i maksymalne uzupełniają się. Jeśli istnieje „n” zmiennych boolowskich, będzie 2 n minimalnych terminów i 2 n maksymalnych terminów.
Kanoniczne formularze SoP i PoS
Tabela prawdy składa się z zestawu danych wejściowych i wyników. Jeśli jest „n” zmiennych wejściowych, to będzie 2 n możliwych kombinacji z zerami i jedynkami. Zatem wartość każdej zmiennej wyjściowej zależy od kombinacji zmiennych wejściowych. Tak więc każda zmienna wyjściowa będzie miała „1” dla pewnej kombinacji zmiennych wejściowych i „0” dla innej kombinacji zmiennych wejściowych.
Dlatego każdą zmienną wyjściową możemy wyrazić na dwa sposoby.
- Formularz kanoniczny SoP
- Formularz kanoniczny PoS
Formularz kanoniczny SoP
Formularz kanoniczny SoP oznacza formularz Canonical Sum of Products. W tej formie każdy termin produktu zawiera wszystkie literały. Zatem te warunki dotyczące produktów to nic innego jak warunki minimalne. Stąd kanoniczny formularz SoP jest również nazywany jakosum of min terms Formularz.
Najpierw zidentyfikuj minimalne warunki, dla których zmienna wyjściowa jest równa jeden, a następnie wykonaj logiczne LUB tych minimalnych składników, aby uzyskać wyrażenie logiczne (funkcję) odpowiadające tej zmiennej wyjściowej. Ta funkcja boolowska będzie miała postać sumy minimalnych warunków.
Wykonaj tę samą procedurę dla innych zmiennych wyjściowych, jeśli istnieje więcej niż jedna zmienna wyjściowa.
Przykład
Rozważ następujące truth table.
| Wejścia | Wynik | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Tutaj wyjście (f) wynosi „1” dla czterech kombinacji wejść. Odpowiednie terminy minimalne to p'qr, pq'r, pqr ', pqr. Wykonując logiczne OR tych czterech minimalnych terminów, otrzymamy funkcję logiczną wyjścia (f).
Dlatego funkcja boolowska wyjścia to f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr. To jestcanonical SoP formprodukcji, f. Możemy również przedstawić tę funkcję w następujących dwóch notacjach.
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ sum m \ left (3,5,6,7 \ right) $$
W jednym równaniu przedstawiliśmy funkcję jako sumę odpowiednich składników minimalnych. W innym równaniu użyliśmy symbolu do sumowania tych minimalnych terminów.
Formularz kanoniczny PoS
Forma kanoniczna PoS oznacza postać kanonicznego produktu sum. W tej formie każdy termin sumaryczny zawiera wszystkie literały. Zatem te warunki sumaryczne są niczym innym jak warunkami Max. Stąd kanoniczny formularz PoS jest również nazywany jakoproduct of Max terms Formularz.
Najpierw zidentyfikuj terminy Max, dla których zmienna wyjściowa wynosi zero, a następnie wykonaj logiczne AND tych warunków Max, aby uzyskać wyrażenie logiczne (funkcję) odpowiadające tej zmiennej wyjściowej. Ta funkcja boolowska będzie miała postać iloczynu warunków Max.
Wykonaj tę samą procedurę dla innych zmiennych wyjściowych, jeśli istnieje więcej niż jedna zmienna wyjściowa.
Example
Rozważ tę samą tabelę prawdy z poprzedniego przykładu. Tutaj wyjście (f) wynosi „0” dla czterech kombinacji wejść. Odpowiednie terminy Max to p + q + r, p + q + r ', p + q' + r, p '+ q + r. Wykonując logiczne AND z tych czterech wyrażeń Max, otrzymamy funkcję logiczną wyjścia (f).
Dlatego funkcja boolowska wyniku to f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r). To jestcanonical PoS formprodukcji, f. Możemy również przedstawić tę funkcję w następujących dwóch notacjach.
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ left (0,1,2,4 \ right) $$
W jednym równaniu przedstawiliśmy funkcję jako iloczyn odpowiednich warunków Max. W innym równaniu użyliśmy symbolu mnożenia tych terminów Max.
Funkcja boolowska, f = (p + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r) jest dwoistą funkcji boolowskiej, f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.
Dlatego zarówno kanoniczne formy SoP, jak i kanoniczne formy PoS są Dualdo siebie. Funkcjonalnie te dwie formy są takie same. W oparciu o wymaganie możemy użyć jednej z tych dwóch form.
Standardowe formularze SoP i PoS
Omówiliśmy dwie kanoniczne formy reprezentacji logicznych wyników. Podobnie, istnieją dwie standardowe formy przedstawiania logicznych wyników. To są uproszczone wersje form kanonicznych.
- Standardowy formularz SoP
- Standardowy formularz PoS
Omówimy bramy logiczne w dalszych rozdziałach. Głównyadvantagestandardowych formularzy polega na tym, że liczbę wejść stosowanych do bramek logicznych można zminimalizować. Czasami całkowita liczba wymaganych bramek logicznych zmniejszy się.
Standardowy formularz SoP
Standardowy formularz SoP oznacza Standard Sum of ProductsFormularz. W tej formie każdy termin produktu nie musi zawierać wszystkich literałów. Tak więc warunki dotyczące produktu mogą być warunkami minimalnymi lub nie. Dlatego standardowy formularz SoP jest uproszczoną formą kanonicznego formularza SoP.
Otrzymamy standardową postać SoP zmiennej wyjściowej w dwóch krokach.
- Uzyskaj kanoniczną postać zmiennej wyjściowej SoP
- Uprość powyższą funkcję boolowską, która ma postać kanoniczną SoP.
Wykonaj tę samą procedurę dla innych zmiennych wyjściowych, jeśli istnieje więcej niż jedna zmienna wyjściowa. Czasami uproszczenie kanonicznego formularza SoP może być niemożliwe. W takim przypadku zarówno kanoniczne, jak i standardowe formularze SoP są takie same.
Example
Przekonwertuj następującą funkcję logiczną na standardowy formularz SoP.
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
Podana funkcja logiczna ma postać kanoniczną SoP. Teraz musimy uprościć tę funkcję boolowską, aby otrzymać standardowy formularz SoP.
Step 1 - Użyj Boolean postulate, x + x = x. Oznacza to, że operacja Logiczne LUB z dowolną zmienną logiczną „n” razy będzie równa tej samej zmiennej. Więc możemy napisać ostatni wyraz pqr jeszcze dwa razy.
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 - Użyj Distributive law1 ul i 4 th warunkach, 2 -go i 5 TH terminy, 3 rd i 6 th warunkach.
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)
Step 3 - Użyj Boolean postulate, x + x '= 1 w celu uproszczenia terminów występujących w każdym nawiasie.
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Step 4 - Użyj Boolean postulate, x.1 = x dla uproszczenia powyżej trzech wyrazów.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
To jest uproszczona funkcja boolowska. Dlatego teżstandard SoP form odpowiadający danemu kanonicznemu formularzowi SoP to f = pq + qr + pr
Standardowy formularz PoS
Standardowy formularz PoS oznacza Standard Product of SumsFormularz. W tej formie każdy termin sumaryczny nie musi zawierać wszystkich literałów. Zatem suma warunków może, ale nie musi, być warunkami Max. Dlatego standardowy formularz PoS jest uproszczoną formą kanonicznego formularza PoS.
Otrzymamy zmienną wyjściową w postaci standardowego PoS w dwóch krokach.
- Uzyskaj kanoniczną postać zmiennej wyjściowej PoS
- Uprość powyższą funkcję boolowską, która ma postać kanoniczną PoS.
Wykonaj tę samą procedurę dla innych zmiennych wyjściowych, jeśli istnieje więcej niż jedna zmienna wyjściowa. Czasami może nie być możliwe uproszczenie kanonicznego formularza PoS. W takim przypadku zarówno kanoniczne, jak i standardowe formularze PoS są takie same.
Example
Przekonwertuj następującą funkcję logiczną na standardowy formularz PoS.
f = (p + q + r). (p + q + r '). (p + q' + r). (p '+ q + r)
Podana funkcja boolowska ma postać kanoniczną PoS. Teraz musimy uprościć tę funkcję boolowską, aby otrzymać standardowy formularz PoS.
Step 1 - Użyj Boolean postulate, xx = x. Oznacza to, że operacja logiczna AND z dowolną zmienną logiczną „n” razy będzie równa tej samej zmiennej. Zatem możemy napisać pierwszy wyraz p + q + r jeszcze dwa razy.
⇒ f = (p + q + r). (P + q + r). (P + q + r). (P + q + r '). (P + q' + r). (P '+ q + r)
Step 2 - Użyj Distributive law,x + (YZ) = (x + y), (x + z) 1 ul i 4 p nawiasów 2 II i 5 p nawias, 3 rd i 6 p nawiasach.
⇒ f = (p + q + rr '). (P + r + qq'). (Q + r + pp ')
Step 3 - Użyj Boolean postulate, x.x '= 0 w celu uproszczenia terminów występujących w każdym nawiasie.
⇒ f = (p + q + 0). (P + r + 0). (Q + r + 0)
Step 4 - Użyj Boolean postulate, x + 0 = x dla uproszczenia terminów występujących w każdym nawiasie
⇒ f = (p + q). (P + r). (Q + r)
⇒ f = (p + q). (Q + r). (P + r)
To jest uproszczona funkcja boolowska. Dlatego teżstandard PoS form odpowiadający danemu kanonicznemu formularzowi PoS to f = (p + q).(q + r).(p + r). To jestdual funkcji boolowskiej, f = pq + qr + pr.
Dlatego zarówno standardowe formularze SoP, jak i standardowe formularze PoS są podwójne.