Série de Fourier e transformação

No último tutorial de análise no domínio da frequência, discutimos que a série de Fourier e a transformada de Fourier são usadas para converter um sinal no domínio da frequência.

Fourier

Fourier era um matemático em 1822. Ele deu a série de Fourier e a transformada de Fourier para converter um sinal no domínio da frequência.

Séries de Fourier

A série de Fourier simplesmente afirma que os sinais periódicos podem ser representados na soma de senos e cossenos quando multiplicados por um determinado peso. Além disso, afirma que os sinais periódicos podem ser divididos em outros sinais com as seguintes propriedades.

Os sinais são senos e cossenos
Os sinais são harmônicos um do outro

Pode ser visto pictoricamente como

No sinal acima, o último sinal é na verdade a soma de todos os sinais acima. Essa foi a ideia do Fourier.

Como é calculado

Uma vez que, como vimos no domínio da frequência, para processar uma imagem no domínio da frequência, precisamos primeiro convertê-la usando no domínio da frequência e temos que tomar o inverso da saída para convertê-la de volta ao domínio espacial. É por isso que a série de Fourier e a transformação de Fourier têm duas fórmulas. Um para conversão e outro para convertê-lo de volta ao domínio espacial.

Séries de Fourier

A série de Fourier pode ser denotada por esta fórmula.

O inverso pode ser calculado por esta fórmula.

transformada de Fourier

A transformada de Fourier simplesmente afirma que os sinais não periódicos cuja área sob a curva é finita também podem ser representados em integrais dos senos e cossenos após serem multiplicados por um certo peso.

A transformada de Fourier tem muitas aplicações abrangentes que incluem compressão de imagem (por exemplo, compressão JPEG), filtragem e análise de imagem.

Diferença entre a série de Fourier e a transformada

Embora a série de Fourier e a transformada de Fourier sejam fornecidas por Fourier, a diferença entre elas é que a série de Fourier é aplicada em sinais periódicos e a transformada de Fourier é aplicada em sinais não periódicos

Qual é aplicado nas imagens

Agora a questão é saber qual é aplicado nas imagens, a série de Fourier ou a transformada de Fourier. Bem, a resposta a esta pergunta reside no fato de que o que são as imagens. As imagens não são periódicas. E como as imagens não são periódicas, a transformada de Fourier é usada para convertê-las no domínio da frequência.

Transformada discreta de Fourier

Como estamos lidando com imagens, e na verdade imagens digitais, para imagens digitais estaremos trabalhando com transformada discreta de Fourier.

Considere o termo de Fourier acima para uma sinusóide. Inclui três coisas.

Frequência Espacial
Magnitude
Phase

A frequência espacial se relaciona diretamente com o brilho da imagem. A magnitude da sinusóide está diretamente relacionada com o contraste. O contraste é a diferença entre a intensidade máxima e mínima do pixel. Fase contém as informações de cor.

A fórmula para a transformada discreta de Fourier bidimensional é fornecida abaixo.

A transformada discreta de Fourier é, na verdade, a transformada de Fourier amostrada, portanto, contém algumas amostras que denotam uma imagem. Na fórmula acima, f (x, y) denota a imagem e F (u, v) denota a transformada discreta de Fourier. A fórmula para a transformada discreta de Fourier inversa bidimensional é fornecida abaixo.

A transformada discreta de Fourier inversa converte a transformada de Fourier de volta à imagem

Considere este sinal

Agora veremos uma imagem, da qual calcularemos o espectro de magnitude FFT e, em seguida, o espectro de magnitude FFT deslocado e então tomaremos o Log desse espectro deslocado.