Свертка и корреляция
Свертка
Свертка - это математическая операция, используемая для выражения отношения между вводом и выводом системы LTI. Он связывает вход, выход и импульсную характеристику системы LTI как
$$ y (t) = x (t) * h (t) $$
Где y (t) = выход LTI
x (t) = ввод LTI
h (t) = импульсный отклик LTI
Есть два типа сверток:
Непрерывная свертка
Дискретная свертка
Непрерывная свертка
$ y (t) \, \, = x (t) * h (t) $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $
(или же)
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t - \ tau) h (\ tau) d \ tau $
Дискретная свертка
$ у (п) \, \, = х (п) * ч (п) $
$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) h (nk) $
(или же)
$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (nk) h (k) $
Используя свертку, мы можем найти нулевой отклик системы.
Деконволюция
Деконволюция - это процесс, обратный свертке, широко используемый при обработке сигналов и изображений.
Свойства свертки
Коммутативная собственность
$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $
Распределительное свойство
$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)] $
Ассоциативное свойство
$ x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $
Перемещение собственности
$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $
$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $
$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $
$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $
Свертка с импульсом
$ x_1 (t) * \ delta (t) = x (t) $
$ x_1 (t) * \ delta (t- t_0) = x (t-t_0) $
Свертка единичных шагов
$ u (t) * u (t) = r (t) $
$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r (t-T_1-T_2) $
$ u (n) * u (n) = [n + 1] u (n) $
Масштабируемость
Если $ x (t) * h (t) = y (t) $
тогда $ x (at) * h (at) = {1 \ over | a |} y (at) $
Дифференциация вывода
если $ y (t) = x (t) * h (t) $
тогда $ {dy (t) \ over dt} = {dx (t) \ over dt} * h (t) $
или же
$ {dy (t) \ over dt} = x (t) * {dh (t) \ over dt} $
Note:
Свертка двух причинных последовательностей является причинной.
Свертка двух антипричинных последовательностей антипричинна.
Свертка двух прямоугольников неравной длины дает трапецию.
Свертка двух прямоугольников равной длины дает треугольник.
Свернутая функция равна интегрированию этой функции.
Example: Вы знаете, что $ u (t) * u (t) = r (t) $
Согласно примечанию выше, $ u (t) * u (t) = \ int u (t) dt = \ int 1dt = t = r (t) $
Здесь вы получаете результат, просто интегрировав $ u (t) $.
Пределы свернутого сигнала
Если два сигнала свернуты, то результирующий свернутый сигнал имеет следующий диапазон:
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
Пример: найдите диапазон свертки сигналов, приведенный ниже
Здесь у нас есть два прямоугольника разной длины для свертывания, в результате чего получается трапеция.
Диапазон запутанного сигнала:
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
$ -1 + -2 <t <2 + 2 $
$ -3 <t <4 $
Следовательно, результат - трапеция с периодом 7.
Площадь запутанного сигнала
Площадь запутанного сигнала определяется как $ A_y = A_x A_h $
Где A x = площадь под входным сигналом
A h = площадь импульсного отклика
A y = площадь под выходным сигналом
Proof: $ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $
Возьмите интеграцию с обеих сторон
$ \ int y (t) dt \, \, \, = \ int \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau dt $
$ = \ int x (\ tau) d \ tau \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (t- \ tau) dt $
Мы знаем, что область любого сигнала - это интеграция самого сигнала.
$ \ поэтому A_y = A_x \, A_h $
Компонент постоянного тока
Постоянная составляющая любого сигнала определяется выражением
$ \ text {DC component} = {\ text {область сигнала} \ over \ text {период сигнала}} $
Пример: какова составляющая постоянного тока результирующего свернутого сигнала, приведенного ниже?
Здесь площадь x 1 (t) = длина × ширина = 1 × 3 = 3
площадь x 2 (t) = длина × ширина = 1 × 4 = 4
площадь извилистого сигнала = площадь x 1 (t) × площадь x 2 (t)
= 3 × 4 = 12
Продолжительность извилистого сигнала = сумма нижних пределов <t <сумма верхних пределов
= -1 + -2 <т <2 + 2
= -3 <t <4
Period=7
$ \, следовательно, $ Dc составляющая свернутого сигнала = $ \ text {область сигнала} \ over \ text {период сигнала} $
Компонент постоянного тока = $ {12 \ более 7} $
Дискретная свертка
Давайте посмотрим, как вычислить дискретную свертку:
i. To calculate discrete linear convolution:
Сверточные две последовательности x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]
Свернутый вывод = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]
Note: если в любых двух последовательностях имеется m, n выборок соответственно, то результирующая свернутая последовательность будет иметь [m + n-1] выборок.
Example: Сверточные две последовательности x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}
Свернутый вывод y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]
= [-1, 0, 3, 10, 6]
Здесь x [n] содержит 3 отсчета, а h [n] также имеет 3 отсчета, поэтому результирующая последовательность имеет 3 + 3-1 = 5 отсчетов.
ii. To calculate periodic or circular convolution:
Периодическая свертка действительна для дискретного преобразования Фурье. Для вычисления периодической свертки все образцы должны быть реальными. Периодическая или круговая свертка также называется быстрой сверткой.
Если две последовательности длины m, n соответственно свертываются с использованием круговой свертки, то получается последовательность, имеющая max [m, n] отсчетов.
Пример: свертка двух последовательностей x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} с использованием круговой свертки.
Нормальный свернутый вывод y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6].
= [-1, 0, 3, 10, 6]
Здесь x [n] содержит 3 отсчета, а h [n] также имеет 3 отсчета. Следовательно, результирующая последовательность, полученная с помощью круговой свертки, должна иметь max [3,3] = 3 отсчета.
Теперь, чтобы получить результат периодической свертки, первые 3 отсчета [поскольку период равен 3] нормальной свертки такие же, следующие два отсчета добавляются к 1-м отсчетам, как показано ниже:
$ \ Поэтому $ Результат круговой свертки $ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $
Корреляция
Корреляция - это мера сходства между двумя сигналами. Общая формула корреляции:
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) dt $$
Есть два типа корреляции:
Автокорреляция
Корреляция кросс
Функция автокорреляции
Это определяется как корреляция сигнала с самим собой. Функция автокорреляции - это мера сходства между сигналом и его версией с временной задержкой. Он представлен как R ($ \ tau $).
Рассмотрим сигналы x (t). Функция автокорреляции x (t) с его версией с задержкой по времени определяется выражением
$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t + \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$
Где $ \ tau $ = поиск или сканирование или параметр задержки.
Если сигнал сложный, функция автокорреляции задается следующим образом:
$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x * (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[ + ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t + \ tau) x * (t) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift] } $$
Свойства автокорреляционной функции энергетического сигнала.
Автокорреляция демонстрирует сопряженную симметрию, т.е. R ($ \ tau $) = R * (- $ \ tau $)
Функция автокорреляции энергии сигнала в источнике, т.е. при $ \ tau $ = 0, равна полной энергии этого сигнала, которая определяется как:
R (0) = E = $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, x (t) \, | ^ 2 \, dt $
Функция автокорреляции $ \ infty {1 \ over \ tau} $,
Автокорреляционная функция максимальна при $ \ tau $ = 0, т.е. | R ($ \ tau $) | ≤ R (0) ∀ $ \ tau $
Функция автокорреляции и спектральные плотности энергии представляют собой пары преобразования Фурье. т.е.
$ FT \, [R (\ tau)] = \ Psi (\ omega) $
$ \ Psi (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R (\ тау) = х (\ тау) * х (- \ тау) $
Функция автокорреляции сигналов мощности
Автокорреляционная функция периодического сигнала мощности с периодом T определяется выражением
$$ R (\ tau) = \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x * (t- \ tau) dt $$
Свойства
Автокорреляция сигнала мощности демонстрирует сопряженную симметрию, т.е. $ R (\ tau) = R * (- \ tau) $
Функция автокорреляции сигнала мощности при $ \ tau = 0 $ (в начале координат) равна полной мощности этого сигнала. т.е.
$ R (0) = \ rho $
Автокорреляционная функция сигнала мощности $ \ infty {1 \ over \ tau} $,
Автокорреляционная функция сигнала мощности максимальна при $ \ tau $ = 0, т.е.
$ | R (\ тау) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $
Функция автокорреляции и спектральные плотности мощности представляют собой пары преобразования Фурье. т.е.
$ FT [R (\ tau)] = s (\ omega) $
$ s (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R (\ тау) = х (\ тау) * х (- \ тау) $
Спектр плотности
Посмотрим спектры плотности:
Спектр плотности энергии
Спектр плотности энергии можно рассчитать по формуле:
$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, x (f) \, | ^ 2 df $$
Спектр плотности мощности
Спектр плотности мощности можно рассчитать по формуле:
$$ P = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, | \, C_n | ^ 2 $$
Функция взаимной корреляции
Взаимная корреляция - это мера сходства между двумя разными сигналами.
Рассмотрим два сигнала x 1 (t) и x 2 (t). Взаимная корреляция этих двух сигналов $ R_ {12} (\ tau) $ определяется выражением
$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$
Если сигналы сложные, то
$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $
$$ R_ {21} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t) x_1 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t + \ tau) x_1 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $
Свойства кросс-корреляционной функции сигналов энергии и мощности.
Автокорреляция демонстрирует сопряженную симметрию, т.е. $ R_ {12} (\ tau) = R ^ * _ {21} (- \ tau) $.
Взаимная корреляция не коммутативна, как свертка, т.е.
$$ R_ {12} (\ tau) \ neq R_ {21} (- \ tau) $$
-
Если R 12 (0) = 0 означает, что если $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ * (t) dt = 0 $, то два сигнала называются ортогональными.
Для сигнала мощности, если $ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x ^ * ( t) \, dt $, то два сигнала называются ортогональными.
Функция взаимной корреляции соответствует умножению спектров одного сигнала на комплексно сопряженный спектр другого сигнала. т.е.
$$ R_ {12} (\ tau) \ leftarrow \ rightarrow X_1 (\ omega) X_2 ^ * (\ omega) $$
Это также называется теоремой корреляции.
Теорема Парсеваля
Теорема Парсеваля для энергетических сигналов утверждает, что полная энергия в сигнале может быть получена из спектра сигнала как
$ E = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ omega) | ^ 2 d \ omega $
Note: Если сигнал имеет энергию E, то масштабированная по времени версия этого сигнала x (at) имеет энергию E / a.