Свертка и корреляция

Свертка

Свертка - это математическая операция, используемая для выражения отношения между вводом и выводом системы LTI. Он связывает вход, выход и импульсную характеристику системы LTI как

$$ y (t) = x (t) * h (t) $$

Где y (t) = выход LTI

x (t) = ввод LTI

h (t) = импульсный отклик LTI

Есть два типа сверток:

  • Непрерывная свертка

  • Дискретная свертка

Непрерывная свертка

$ y (t) \, \, = x (t) * h (t) $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $

(или же)

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t - \ tau) h (\ tau) d \ tau $

Дискретная свертка

$ у (п) \, \, = х (п) * ч (п) $

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) h (nk) $

(или же)

$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (nk) h (k) $

Используя свертку, мы можем найти нулевой отклик системы.

Деконволюция

Деконволюция - это процесс, обратный свертке, широко используемый при обработке сигналов и изображений.

Свойства свертки

Коммутативная собственность

$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $

Распределительное свойство

$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)] $

Ассоциативное свойство

$ x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $

Перемещение собственности

$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $

$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $

Свертка с импульсом

$ x_1 (t) * \ delta (t) = x (t) $

$ x_1 (t) * \ delta (t- t_0) = x (t-t_0) $

Свертка единичных шагов

$ u (t) * u (t) = r (t) $

$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r (t-T_1-T_2) $

$ u (n) * u (n) = [n + 1] u (n) $

Масштабируемость

Если $ x (t) * h (t) = y (t) $

тогда $ x (at) * h (at) = {1 \ over | a |} y (at) $

Дифференциация вывода

если $ y (t) = x (t) * h (t) $

тогда $ {dy (t) \ over dt} = {dx (t) \ over dt} * h (t) $

или же

$ {dy (t) \ over dt} = x (t) * {dh (t) \ over dt} $

Note:

  • Свертка двух причинных последовательностей является причинной.

  • Свертка двух антипричинных последовательностей антипричинна.

  • Свертка двух прямоугольников неравной длины дает трапецию.

  • Свертка двух прямоугольников равной длины дает треугольник.

  • Свернутая функция равна интегрированию этой функции.

Example: Вы знаете, что $ u (t) * u (t) = r (t) $

Согласно примечанию выше, $ u (t) * u (t) = \ int u (t) dt = \ int 1dt = t = r (t) $

Здесь вы получаете результат, просто интегрировав $ u (t) $.

Пределы свернутого сигнала

Если два сигнала свернуты, то результирующий свернутый сигнал имеет следующий диапазон:

Sum of lower limits < t < sum of upper limits

Пример: найдите диапазон свертки сигналов, приведенный ниже

Здесь у нас есть два прямоугольника разной длины для свертывания, в результате чего получается трапеция.

Диапазон запутанного сигнала:

Sum of lower limits < t < sum of upper limits

$ -1 + -2 <t <2 + 2 $

$ -3 <t <4 $

Следовательно, результат - трапеция с периодом 7.

Площадь запутанного сигнала

Площадь запутанного сигнала определяется как $ A_y = A_x A_h $

Где A x = площадь под входным сигналом

A h = площадь импульсного отклика

A y = площадь под выходным сигналом

Proof: $ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $

Возьмите интеграцию с обеих сторон

$ \ int y (t) dt \, \, \, = \ int \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau dt $

$ = \ int x (\ tau) d \ tau \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (t- \ tau) dt $

Мы знаем, что область любого сигнала - это интеграция самого сигнала.

$ \ поэтому A_y = A_x \, ​​A_h $

Компонент постоянного тока

Постоянная составляющая любого сигнала определяется выражением

$ \ text {DC component} = {\ text {область сигнала} \ over \ text {период сигнала}} $

Пример: какова составляющая постоянного тока результирующего свернутого сигнала, приведенного ниже?

Здесь площадь x 1 (t) = длина × ширина = 1 × 3 = 3

площадь x 2 (t) = длина × ширина = 1 × 4 = 4

площадь извилистого сигнала = площадь x 1 (t) × площадь x 2 (t)

= 3 × 4 = 12

Продолжительность извилистого сигнала = сумма нижних пределов <t <сумма верхних пределов

= -1 + -2 <т <2 + 2

= -3 <t <4

Period=7

$ \, следовательно, $ Dc составляющая свернутого сигнала = $ \ text {область сигнала} \ over \ text {период сигнала} $

Компонент постоянного тока = $ {12 \ более 7} $

Дискретная свертка

Давайте посмотрим, как вычислить дискретную свертку:

i. To calculate discrete linear convolution:

Сверточные две последовательности x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]

Свернутый вывод = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]

Note: если в любых двух последовательностях имеется m, n выборок соответственно, то результирующая свернутая последовательность будет иметь [m + n-1] выборок.

Example: Сверточные две последовательности x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}

Свернутый вывод y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Здесь x [n] содержит 3 отсчета, а h [n] также имеет 3 отсчета, поэтому результирующая последовательность имеет 3 + 3-1 = 5 отсчетов.

ii. To calculate periodic or circular convolution:

Периодическая свертка действительна для дискретного преобразования Фурье. Для вычисления периодической свертки все образцы должны быть реальными. Периодическая или круговая свертка также называется быстрой сверткой.

Если две последовательности длины m, n соответственно свертываются с использованием круговой свертки, то получается последовательность, имеющая max [m, n] отсчетов.

Пример: свертка двух последовательностей x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} с использованием круговой свертки.

Нормальный свернутый вывод y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6].

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Здесь x [n] содержит 3 отсчета, а h [n] также имеет 3 отсчета. Следовательно, результирующая последовательность, полученная с помощью круговой свертки, должна иметь max [3,3] = 3 отсчета.

Теперь, чтобы получить результат периодической свертки, первые 3 отсчета [поскольку период равен 3] нормальной свертки такие же, следующие два отсчета добавляются к 1-м отсчетам, как показано ниже:

$ \ Поэтому $ Результат круговой свертки $ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $

Корреляция

Корреляция - это мера сходства между двумя сигналами. Общая формула корреляции:

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) dt $$

Есть два типа корреляции:

  • Автокорреляция

  • Корреляция кросс

Функция автокорреляции

Это определяется как корреляция сигнала с самим собой. Функция автокорреляции - это мера сходства между сигналом и его версией с временной задержкой. Он представлен как R ($ \ tau $).

Рассмотрим сигналы x (t). Функция автокорреляции x (t) с его версией с задержкой по времени определяется выражением

$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t + \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$

Где $ \ tau $ = поиск или сканирование или параметр задержки.

Если сигнал сложный, функция автокорреляции задается следующим образом:

$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x * (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[ + ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t + \ tau) x * (t) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift] } $$

Свойства автокорреляционной функции энергетического сигнала.

  • Автокорреляция демонстрирует сопряженную симметрию, т.е. R ($ \ tau $) = R * (- $ \ tau $)

  • Функция автокорреляции энергии сигнала в источнике, т.е. при $ \ tau $ = 0, равна полной энергии этого сигнала, которая определяется как:

    R (0) = E = $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, x (t) \, | ^ 2 \, dt $

  • Функция автокорреляции $ \ infty {1 \ over \ tau} $,

  • Автокорреляционная функция максимальна при $ \ tau $ = 0, т.е. | R ($ \ tau $) | ≤ R (0) ∀ $ \ tau $

  • Функция автокорреляции и спектральные плотности энергии представляют собой пары преобразования Фурье. т.е.

    $ FT \, [R (\ tau)] = \ Psi (\ omega) $

    $ \ Psi (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $

  • $ R (\ тау) = х (\ тау) * х (- \ тау) $

Функция автокорреляции сигналов мощности

Автокорреляционная функция периодического сигнала мощности с периодом T определяется выражением

$$ R (\ tau) = \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x * (t- \ tau) dt $$

Свойства

  • Автокорреляция сигнала мощности демонстрирует сопряженную симметрию, т.е. $ R (\ tau) = R * (- \ tau) $

  • Функция автокорреляции сигнала мощности при $ \ tau = 0 $ (в начале координат) равна полной мощности этого сигнала. т.е.

    $ R (0) = \ rho $

  • Автокорреляционная функция сигнала мощности $ \ infty {1 \ over \ tau} $,

  • Автокорреляционная функция сигнала мощности максимальна при $ \ tau $ = 0, т.е.

    $ | R (\ тау) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $

  • Функция автокорреляции и спектральные плотности мощности представляют собой пары преобразования Фурье. т.е.

    $ FT [R (\ tau)] = s (\ omega) $

    $ s (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $

  • $ R (\ тау) = х (\ тау) * х (- \ тау) $

Спектр плотности

Посмотрим спектры плотности:

Спектр плотности энергии

Спектр плотности энергии можно рассчитать по формуле:

$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, x (f) \, | ^ 2 df $$

Спектр плотности мощности

Спектр плотности мощности можно рассчитать по формуле:

$$ P = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, | \, C_n | ^ 2 $$

Функция взаимной корреляции

Взаимная корреляция - это мера сходства между двумя разными сигналами.

Рассмотрим два сигнала x 1 (t) и x 2 (t). Взаимная корреляция этих двух сигналов $ R_ {12} (\ tau) $ определяется выражением

$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$

Если сигналы сложные, то

$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $

$$ R_ {21} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t) x_1 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t + \ tau) x_1 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $

Свойства кросс-корреляционной функции сигналов энергии и мощности.

  • Автокорреляция демонстрирует сопряженную симметрию, т.е. $ R_ {12} (\ tau) = R ^ * _ {21} (- \ tau) $.

  • Взаимная корреляция не коммутативна, как свертка, т.е.

    $$ R_ {12} (\ tau) \ neq R_ {21} (- \ tau) $$

  • Если R 12 (0) = 0 означает, что если $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ * (t) dt = 0 $, то два сигнала называются ортогональными.

    Для сигнала мощности, если $ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x ^ * ( t) \, dt $, то два сигнала называются ортогональными.

  • Функция взаимной корреляции соответствует умножению спектров одного сигнала на комплексно сопряженный спектр другого сигнала. т.е.

    $$ R_ {12} (\ tau) \ leftarrow \ rightarrow X_1 (\ omega) X_2 ^ * (\ omega) $$

    Это также называется теоремой корреляции.

Теорема Парсеваля

Теорема Парсеваля для энергетических сигналов утверждает, что полная энергия в сигнале может быть получена из спектра сигнала как

$ E = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ omega) | ^ 2 d \ omega $

Note: Если сигнал имеет энергию E, то масштабированная по времени версия этого сигнала x (at) имеет энергию E / a.