Ряд Фурье
Jean Baptiste Joseph Fourier,французский математик и физик; родился в Осере, Франция. Он инициировал ряды Фурье, преобразования Фурье и их приложения к проблемам теплопередачи и колебаний. В его честь названы ряд Фурье, преобразования Фурье и закон Фурье.
Ряд Фурье
Чтобы представить любой периодический сигнал x (t), Фурье разработал выражение, называемое рядами Фурье. Это в терминах бесконечной суммы синусов и косинусов или экспонент. Ряд Фурье использует условие ортоганальности.
Представление непрерывных периодических сигналов в виде ряда Фурье
Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию x (t) = x (t + T) или x (n) = x (n + N).
Где T = основной период времени,
ω 0 = основная частота = 2π / T
Есть два основных периодических сигнала:
$ x (t) = \ cos \ omega_0t $ (синусоидальный) &
$ x (t) = e ^ {j \ omega_0 t} $ (комплексная экспонента)
Эти два сигнала являются периодическими с периодом $ T = 2 \ pi / \ omega_0 $.
Набор гармонически связанных комплексных экспонент можно представить как {$ \ phi_k (t) $}
$$ {\ phi_k (t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk ({2 \ pi \ over T}) t} \} \ text {where} \, k = 0 \ pm 1, \ pm 2 ..n \, \, \, ..... (1) $$
Все эти сигналы периодические с периодом T
Согласно аппроксимации пространством ортогональных сигналов функции x (t) с n взаимно ортогональные функции задаются выражением
$$ x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} ..... (2) $$
$$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$
Где $ a_k $ = коэффициент Фурье = коэффициент приближения.
Этот сигнал x (t) также периодичен с периодом T.
Уравнение 2 представляет собой представление периодического сигнала x (t) рядами Фурье.
Член k = 0 постоянен.
Член $ k = \ pm1 $, имеющий основную частоту $ \ omega_0 $, называется 1- й гармоникой.
Член $ k = \ pm2 $, имеющий основную частоту $ 2 \ omega_0 $, называется 2- й гармоникой и так далее ...
Член $ k = ± n $, имеющий основную частоту $ n \ omega0 $, называется n- й гармоникой.
Получение коэффициента Фурье
Мы знаем, что $ x (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ...... (1) $
Умножаем $ e ^ {- jn \ omega_0 t} $ с обеих сторон. потом
$$ x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} $$
Считайте цельный с обеих сторон.
$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} . dt $$
$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. \, \, ..... (2) $$
по формуле Эйлера,
$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ int_ {0} ^ {T} \ cos (kn) \ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin (kn) \ omega_0t \, dt $$
$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ left \ {\ begin {array} {ll} T & \ quad k = n \\ 0 & \ quad k \ neq n \ end {array} \ right. $$
Следовательно, в уравнении 2 интеграл равен нулю для всех значений k, кроме k = n. Положим k = n в уравнение 2.
$$ \ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$
$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$
Заменить n на k.
$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$
$$ \ поэтому x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} $$
$$ \ text {где} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$