Преобразование Гильберта

Преобразование Гильберта сигнала x (t) определяется как преобразование, в котором фазовый угол всех компонентов сигнала сдвигается на $ \ pm \ text {90} ^ o $.

Преобразование Гильберта для x (t) представляется как $ \ hat {x} (t) $, и оно задается как

$$ \ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk $$

Обратное преобразование Гильберта дается формулой

$$ \ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk $$

x (t), $ \ hat {x} $ (t) называется парой преобразований Гильберта.

Свойства преобразования Гильберта

Сигнал x (t) и его преобразование Гильберта $ \ hat {x} $ (t) имеют

• Тот же амплитудный спектр.

• Та же автокорреляционная функция.

• Спектральная плотность энергии одинакова для x (t) и $ \ hat {x} $ (t).

• x (t) и $ \ hat {x} $ (t) ортогональны.

• Преобразование Гильберта для $ \ hat {x} $ (t) равно -x (t)

• Если существует преобразование Фурье, то преобразование Гильберта также существует для сигналов энергии и мощности.