Преобразования Лапласа (LT)

Комплексное преобразование Фурье также называется двусторонним преобразованием Лапласа. Это используется для решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему LTI, вызванную комплексным экспоненциальным сигналом вида x (t) = Ge ^st .

Где s = любое комплексное число = $ \ sigma + j \ omega $,

σ = вещественное число s, и

ω = мнимое из s

Отклик LTI может быть получен путем свертки входа с его импульсной характеристикой, т.е.

$ y (t) = x (t) \ times h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, x (t- \ tau) d \ tau $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, Ge ^ {s (t- \ tau)} d \ tau $

$ = Ge ^ {st}. \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, e ^ {(- s \ tau)} d \ tau $

$ y (t) = Ge ^ {st} .H (S) = x (t) .H (S) $

Где H (S) = преобразование Лапласа $ h (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e ^ {- s \ tau} d \ tau $

Аналогично преобразование Лапласа $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt \, ... \, ... ( 1) $

Связь между преобразованиями Лапласа и Фурье

Преобразование Лапласа $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt $

Подставим s = σ + jω в уравнение выше.

$ → X (\ sigma + j \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (t) e ^ {- (\ sigma + j \ omega) t} dt $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [x (t) e ^ {- \ sigma t}] e ^ {- j \ omega t} dt $

$ \ поэтому X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] \, ... \, ... (2) $

$ X (S) = X (\ omega) \ quad \ quad для \, \, s = j \ omega $

Обратное преобразование Лапласа

Вы знаете, что $ X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] $

$ \ to x (t) e ^ {- \ sigma t} = FT ^ {- 1} [X (S)] = FT ^ {- 1} [X (\ sigma + j \ omega)] $

$ = {1 \ over 2} \ pi \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ x (t) = e ^ {\ sigma t} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $

$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {(\ sigma + j \ omega) t} d \ omega \ ,. .. \, ... (3) $

Здесь $ \ sigma + j \ omega = s $

$ jdω = ds → dω = ds / j $

$ \ поэтому x (t) = {1 \ over 2 \ pi j} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (s) e ^ {st} ds \, ... \, ... ( 4) $

Уравнения 1 и 4 представляют собой преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа сигнала x (t).

Условия существования преобразования Лапласа.

Условия Дирихле используются для определения существования преобразования Лапласа. т.е.

Функция f (t) имеет конечное число максимумов и минимумов.
В заданном интервале времени должно быть конечное число разрывов сигнала f (t).
Он должен быть абсолютно интегрируемым в заданный промежуток времени. т.е.

$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, f (t) | \, dt \ lt \ infty $

Теоремы о начальном и конечном значении

Если преобразование Лапласа неизвестной функции x (t) известно, то можно определить начальное и конечное значения этого неизвестного сигнала, то есть x (t) при t = 0 ⁺ и t = ∞.