Z-преобразования (ZT)
Анализ систем LTI с непрерывным временем может быть выполнен с помощью z-преобразований. Это мощный математический инструмент для преобразования дифференциальных уравнений в алгебраические.
Двустороннее (двустороннее) z-преобразование дискретного временного сигнала x (n) задается как
$Z.T[x(n)] = X(Z) = \Sigma_{n = -\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} $
Одностороннее (одностороннее) z-преобразование дискретного сигнала времени x (n) задается как
$Z.T[x(n)] = X(Z) = \Sigma_{n = 0}^{\infty} x(n)z^{-n} $
Z-преобразование может существовать для некоторых сигналов, для которых не существует дискретного временного преобразования Фурье (DTFT).
Концепция Z-преобразования и обратного Z-преобразования
Z-преобразование дискретного сигнала времени x (n) может быть представлено с помощью X (Z), и оно определяется как
$X(Z) = \Sigma_{n=- \infty }^ {\infty} x(n)z^{-n} \,...\,...\,(1)$
Если $Z = re^{j\omega}$ тогда уравнение 1 становится
$X(re^{j\omega}) = \Sigma_{n=- \infty}^{\infty} x(n)[re^{j \omega} ]^{-n}$
$= \Sigma_{n=- \infty}^{\infty} x(n)[r^{-n} ] e^{-j \omega n}$
$X(re^{j \omega} ) = X(Z) = F.T[x(n)r^{-n}] \,...\,...\,(2) $
Приведенное выше уравнение представляет связь между преобразованием Фурье и Z-преобразованием.
$ X(Z) |_{z=e^{j \omega}} = F.T [x(n)]. $
Обратное Z-преобразование
$X(re^{j \omega}) = F.T[x(n)r^{-n}] $
$x(n)r^{-n} = F.T^{-1}[X(re^{j \omega}]$
$x(n) = r^n\,F.T^{-1}[X(re^{j \omega} )]$
$= r^n {1 \over 2\pi} \int X(re{^j \omega} )e^{j \omega n} d \omega $
$= {1 \over 2\pi} \int X(re{^j \omega} )[re^{j \omega} ]^n d \omega \,...\,...\,(3)$
Замена $re^{j \omega} = z$.
$dz = jre^{j \omega} d \omega = jz d \omega$
$d \omega = {1 \over j }z^{-1}dz$
Подставить в уравнение 3.
$ 3\, \to \, x(n) = {1 \over 2\pi} \int\, X(z)z^n {1 \over j } z^{-1} dz = {1 \over 2\pi j} \int \,X(z) z^{n-1} dz $
$$X(Z) = \sum_{n=- \infty }^{\infty} \,x(n)z^{-n}$$ $$x(n) = {1 \over 2\pi j} \int\, X(z) z^{n-1} dz$$