Анализ сигналов

Аналогия между векторами и сигналами

Существует полная аналогия между векторами и сигналами.

Вектор

Вектор содержит величину и направление. Название векторов выделено жирным шрифтом, а их величина - светлым шрифтом.

Example:V - вектор с величиной V. Рассмотрим два вектора V ₁ и V _2, как показано на следующей диаграмме. Пусть компонент V ₁ вместе с V ₂ задается C ₁₂ V ₂ . Компонент вектора V ₁ вместе с вектором V ₂ можно получить, взяв перпендикуляр от конца V ₁ к вектору V _2, как показано на диаграмме:

Вектор V ₁ можно выразить через вектор V ₂

V ₁ = C ₁₂ V ₂ + V _e

Где Ve - вектор ошибки.

Но это не единственный способ выразить вектор V ₁ через V ₂ . Альтернативные возможности:

Сигнал ошибки минимален для большого значения компонента. Если C ₁₂ = 0, то два сигнала называются ортогональными.

Точечное произведение двух векторов

V ₁ . V ₂ = V _1. V ₂ cosθ

θ = угол между V1 и V2

V ₁ . V ₂ = V _2. V ₁

Компоненты V ₁ alog _n V ₂ = V ₁ Cos θ = $ V1.V2 \ over V2 $

Как видно из схемы, компоненты V ₁ alog _n V ₂ = C ₁₂ V ₂

$$ V_1.V_2 \ over V_2 = C_12 \, V_2 $$

$$ \ Rightarrow C_ {12} = {V_1.V_2 \ over V_2} $$

Сигнал

К сигналам можно применить концепцию ортогональности. Рассмотрим два сигнала f ₁ (t) и f ₂ (t). Подобно векторам, вы можете аппроксимировать f ₁ (t) через f ₂ (t) как

f ₁ (t) = C ₁₂ f ₂ (t) + f _e (t) для (t ₁ <t <t ₂ )

$ \ Rightarrow $ f _e (t) = f ₁ (t) - C ₁₂ f ₂ (t).

Один из возможных способов минимизировать ошибку - интегрировать в интервале от t ₁ до t ₂ .

$$ {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] dt $$

$$ {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t) - C_ {12} f_2 (t)] dt $$

Однако этот шаг также не уменьшает в значительной степени ошибку. Это можно исправить, взяв квадрат функции ошибок.

$ \ varepsilon = {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt $

$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) - C_ {12} f_2] ^ 2 dt $

Где ε - среднеквадратичное значение сигнала ошибки. Значение C _12, которое минимизирует ошибку, необходимо вычислить $ {d \ varepsilon \ over dC_ {12}} = 0 $

$ \ Rightarrow {d \ over dC_ {12}} [{1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t) - C_ {12} f_2 (t)] ^ 2 dt] = 0 $

$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [{d \ over dC_ {12}} f_ {1} ^ 2 (t) - {d \ over dC_ {12}) } 2f_1 (t) C_ {12} f_2 (t) + {d \ over dC_ {12}} f_ {2} ^ {2} (t) C_ {12} ^ 2] dt = 0 $

Производная от членов, не содержащих члена C12, равна нулю.

$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} - 2f_1 (t) f_2 (t) dt + 2C_ {12} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_ {2} ^ {2} (t)] dt = 0 $

Если $ C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t ) dt}} $ компонент равен нулю, то два сигнала называются ортогональными.

Положим C ₁₂ = 0, чтобы получить условие ортогональности.

0 = $ {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t) dt}} $

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt = 0 $$

Ортогональное векторное пространство

Полный набор ортогональных векторов называется ортогональным векторным пространством. Рассмотрим трехмерное векторное пространство, как показано ниже:

Рассмотрим вектор A в точке (X ₁ , Y ₁ , Z ₁ ). Рассмотрим три единичных вектора (V _X , V _Y , V _Z ) в направлении осей X, Y, Z соответственно. Поскольку эти единичные векторы взаимно ортогональны, удовлетворяется, что

$$ V_X. V_X = V_Y. V_Y = V_Z. V_Z = 1 $$

$$ V_X. V_Y = V_Y. V_Z = V_Z. V_X = 0 $$

Вы можете написать условия выше как

$$ V_a. V_b = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & \ quad a = b \\ 0 & \ quad a \ neq b \ end {array} \ right. $$

Вектор A может быть представлен в терминах его компонентов и единичных векторов как

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z ................ (1) $

Любые векторы в этом трехмерном пространстве могут быть представлены только в терминах этих трех единичных векторов.

Если вы рассматриваете n-мерное пространство, то любой вектор A в этом пространстве можно представить как

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + N_1V_N ..... (2) $

Поскольку величина единичных векторов равна единице для любого вектора A

Составляющая A по оси x = AV _X

Составляющая A по оси Y = AV _Y

Составляющая A по оси Z = AV _Z

Точно так же для n-мерного пространства компонента A вдоль некоторой оси G

$ = A.VG ............... (3) $

Подставьте уравнение 2 в уравнение 3.

$ \ Rightarrow CG = (X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + G_1 V_G ... + N_1V_N) V_G $

$ = X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G + ... + G_1V_G V_G ... + N_1V_N V_G $

$ = G_1 \, \, \, \, \, \ text {поскольку} V_G V_G = 1 $

$ Если V_G V_G \ neq 1 \, \, \ text {ie} V_G V_G = k $

$ AV_G = G_1V_G V_G = G_1K $

$ G_1 = {(AV_G) \ over K} $

Ортогональное сигнальное пространство

Рассмотрим набор из n взаимно ортогональных функций x ₁ (t), x ₂ (t) ... x _n (t) на интервале от t ₁ до t ₂ . Поскольку эти функции ортогональны друг другу, любые два сигнала x _j (t), x _k (t) должны удовлетворять условию ортогональности. т.е.

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_j (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \, \ text {where} \, j \ neq k $$

$$ \ text {Let} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_ {k} ^ {2} (t) dt = k_k $$

Пусть функция f (t) может быть аппроксимирована этим пространством ортогональных сигналов путем добавления компонентов вдоль взаимно ортогональных сигналов, т.е.

$ \, \, \, f (t) = C_1x_1 (t) + C_2x_2 (t) + ... + C_nx_n (t) + f_e (t) $

$ \ quad \ quad = \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t) $

$ \, \, \, f (t) = f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t) $

Средняя ошибка вычисления $ \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt $

$$ = {1 \ over t_2 - t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f [t] - \ sum_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t)] ^ 2 dt $$

Компонент, который минимизирует среднеквадратичную ошибку, может быть найден следующим образом:

$$ {d \ varepsilon \ over dC_1} = {d \ varepsilon \ over dC_2} = ... = {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $$

Рассмотрим $ {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $

$$ {d \ over dC_k} [{1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt] = 0 $$

Все члены, не содержащие C _k , равны нулю. т.е. при суммировании остается r = k, а все остальные члены равны нулю.

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} - 2 f (t) x_k (t) dt + 2C_k \ int_ {t_1} ^ {t_2} [x_k ^ 2 (t)] dt = 0 $$

$$ \ Rightarrow C_k = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt} \ over {int_ {t_1} ^ {t_2} x_k ^ 2 (t) dt}} $$

$$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = C_kK_k $$

Среднеквадратичная ошибка

Среднее значение квадрата функции ошибки f _e (t) называется среднеквадратической ошибкой. Обозначается через ε (эпсилон).

.

$ \ varepsilon = {1 \ над t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2dt $

$ \, \, \, \, = {1 \ над t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt $

$ \, \, \, \, = {1 \ над t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt - 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (t) dt $

Вы знаете, что $ C_ {r} ^ {2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt = C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (d) dt = C_r ^ 2 тыс. $

$ \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r - 2 \ Сигма_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $

$ \, \, \, \, = {1 \ над t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt - \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $

$ \, \ поэтому \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + (C_1 ^ 2 K_1 + C_2 ^ 2 K_2 + ... + C_n ^ 2 K_n)] $

Приведенное выше уравнение используется для оценки среднеквадратичной ошибки.

Замкнутый и полный набор ортогональных функций.

Рассмотрим набор из n взаимно ортогональных функций x ₁ (t), x ₂ (t) ... x _n (t) на интервале от t ₁ до t ₂ . Это называется закрытым и полным набором, если не существует функции f (t), удовлетворяющей условию $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 $

Если эта функция удовлетворяет уравнению $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \ text {for} \, k = 1,2, .. $, то f (t) называется ортогональной каждой функции ортогонального множества. Этот набор неполный без f (t). Когда f (t) включен, он становится закрытым и полным.

f (t) можно аппроксимировать этим ортогональным набором, добавив компоненты вдоль взаимно ортогональных сигналов, т.е.

$$ f (t) = C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) + f_e (t) $$

Если бесконечный ряд $ C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) $ сходится к f (t), то среднеквадратичная ошибка равна нулю.

Ортогональность в сложных функциях

Если f ₁ (t) и f ₂ (t) - две комплексные функции, то f ₁ (t) может быть выражено через f ₂ (t) как

$ f_1 (t) = C_ {12} f_2 (t) \, \, \, \, \, \, \, \, $ .. с незначительной ошибкой

Где $ C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt}} $

Где $ f_2 ^ * (t) $ = комплексно сопряженное с f ₂ (t).

Если f ₁ (t) и f ₂ (t) ортогональны, то C ₁₂ = 0

$$ {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt \ over \ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt} = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (dt) = 0 $$

Вышеприведенное уравнение представляет собой условие ортогональности в комплексных функциях.