การมอดูเลตแอมพลิจูด

คลื่นต่อเนื่องดำเนินไปอย่างต่อเนื่องโดยไม่มีช่วงเวลาใด ๆ และเป็นสัญญาณข้อความเบสแบนด์ซึ่งมีข้อมูล คลื่นนี้จะต้องมีการมอดูเลต

ตามคำจำกัดความมาตรฐาน "ความกว้างของสัญญาณพาหะจะแตกต่างกันไปตามแอมพลิจูดของสัญญาณมอดูเลตในทันที" ซึ่งหมายความว่าแอมพลิจูดของสัญญาณพาหะที่ไม่มีข้อมูลจะแตกต่างกันไปตามความกว้างของสัญญาณที่มีข้อมูลในแต่ละช่วงเวลา สิ่งนี้สามารถอธิบายได้ดีจากตัวเลขต่อไปนี้

รูปแรกแสดงคลื่นมอดูเลตซึ่งเป็นสัญญาณข้อความ อันถัดไปคือคลื่นพาหะซึ่งเป็นสัญญาณความถี่สูงและไม่มีข้อมูล ในขณะที่อันสุดท้ายคือคลื่นมอดูเลตที่เป็นผลลัพธ์

จะสังเกตได้ว่ายอดบวกและลบของคลื่นพาหะนั้นเชื่อมต่อกันด้วยเส้นสมมุติ เส้นนี้ช่วยสร้างรูปร่างที่แน่นอนของสัญญาณมอดูเลต เส้นสมมุติบนคลื่นพาหะนี้เรียกว่า asEnvelope. เช่นเดียวกับสัญญาณข้อความ

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์

ต่อไปนี้เป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์สำหรับคลื่นเหล่านี้

การเป็นตัวแทนโดเมนเวลาของคลื่น

ให้สัญญาณมอดูเลตเป็น

$$ m \ left (t \ right) = A_m \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $$

และสัญญาณของผู้ให้บริการเป็น

$$ c \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$

ที่ไหน

$ A_m $ และ $ A_c $ คือแอมพลิจูดของสัญญาณมอดูเลตและสัญญาณพาหะตามลำดับ

$ f_m $ และ $ f_c $ คือความถี่ของสัญญาณมอดูเลตและสัญญาณพาหะตามลำดับ

จากนั้นสมการของคลื่นแอมพลิจูดมอดูเลตจะเป็น

$ s (t) = \ left [A_c + A_m \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ (สมการ 1)

ดัชนีการมอดูเลต

คลื่นพาหะหลังจากถูกมอดูเลตแล้วหากคำนวณระดับมอดูเลตแล้วความพยายามดังกล่าวจะเรียกว่าเป็น Modulation Index หรือ Modulation Depth. มันระบุระดับของการมอดูเลตที่คลื่นพาหะได้รับ

จัดเรียงสมการ 1 ใหม่ตามด้านล่าง

$ s (t) = A_c \ left [1+ \ left (\ frac {A_m} {A_c} \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $

$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left (2 \ pi f_m t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ ( สมการ 2)

โดยที่ $ \ mu $ คือดัชนีการมอดูเลตและเท่ากับอัตราส่วนของ $ A_m $ และ $ A_c $ ในทางคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนเป็น

$ \ mu = \ frac {A_m} {A_c} $ (สมการ 3)

ดังนั้นเราสามารถคำนวณค่าของดัชนีการมอดูเลตได้โดยใช้สูตรข้างต้นเมื่อทราบแอมพลิจูดของข้อความและสัญญาณพาหะ

ตอนนี้ให้เราได้มาอีกหนึ่งสูตรสำหรับดัชนีการมอดูเลตโดยพิจารณาสมการ 1 เราสามารถใช้สูตรนี้ในการคำนวณค่าดัชนีการมอดูเลตเมื่อทราบค่าแอมพลิจูดสูงสุดและต่ำสุดของคลื่นมอดูเลต

ให้ $ A_ \ max $ และ $ A_ \ min $ เป็นแอมพลิจูดสูงสุดและต่ำสุดของคลื่นมอดูเลต

เราจะได้รับแอมพลิจูดสูงสุดของคลื่นมอดูเลตเมื่อ $ \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $ เท่ากับ 1

$ \ Rightarrow A_ \ max = A_c + A_m $ (สมการ 4)

เราจะได้แอมพลิจูดต่ำสุดของคลื่นมอดูเลตเมื่อ $ \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $ เท่ากับ -1

$ \ Rightarrow A_ \ min = A_c - A_m $ (สมการ 5)

เพิ่มสมการ 4 และสมการ 5

$$ A_ \ max + A_ \ min = A_c + A_m + A_c-A_m = 2A_c $$

$ \ Rightarrow A_c = \ frac {A_ \ max + A_ \ min} {2} $ (สมการ 6)

ลบสมการ 5 ออกจากสมการ 4

$$ A_ \ max - A_ \ min = A_c + A_m - \ left (A_c -A_m \ right) = 2A_m $$

$ \ Rightarrow A_m = \ frac {A_ \ max - A_ \ min} {2} $ (สมการ 7)

อัตราส่วนของสมการ 7 และสมการ 6 จะเป็นดังนี้

$$ \ frac {A_m} {A_c} = \ frac {\ left (A_ {max} - A_ {min} \ right) / 2} {\ left (A_ {max} + A_ {min} \ right) / 2 } $$

$ \ Rightarrow \ mu = \ frac {A_ \ max - A_ \ min} {A_ \ max + A_ \ min} $ (สมการ 8)

ดังนั้นสมการ 3 และสมการ 8 จึงเป็นสองสูตรสำหรับดัชนีการมอดูเลต ดัชนีการมอดูเลตหรือความลึกของการมอดูเลตมักแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์เรียกว่าเปอร์เซ็นต์ของการมอดูเลต เราจะได้รับไฟล์percentage of modulationเพียงแค่คูณค่าดัชนีการมอดูเลตด้วย 100

สำหรับการมอดูเลตที่สมบูรณ์แบบค่าของดัชนีการมอดูเลตควรเป็น 1 ซึ่งหมายความว่าเปอร์เซ็นต์ของการมอดูเลตควรเป็น 100%

ตัวอย่างเช่นถ้าค่านี้น้อยกว่า 1 นั่นคือดัชนีการมอดูเลตคือ 0.5 ดังนั้นเอาต์พุตที่มอดูเลตจะมีลักษณะดังรูปต่อไปนี้ จะเรียกว่าเป็นUnder-modulation. คลื่นดังกล่าวเรียกว่าเป็นunder-modulated wave.

ถ้าค่าของดัชนีการมอดูเลตมากกว่า 1 เช่น 1.5 หรือมากกว่านั้นคลื่นจะเป็น over-modulated wave. มันจะมีลักษณะดังรูปต่อไปนี้

เมื่อค่าของดัชนีการมอดูเลตเพิ่มขึ้นผู้ให้บริการจะประสบกับการกลับเฟส180 ^oซึ่งทำให้เกิดแถบด้านข้างเพิ่มเติมและด้วยเหตุนี้คลื่นจึงบิดเบี้ยว คลื่นที่มีการมอดูเลตมากเกินไปทำให้เกิดการรบกวนซึ่งไม่สามารถกำจัดได้

แบนด์วิดธ์ของ AM Wave

Bandwidth(BW) คือความแตกต่างระหว่างความถี่สูงสุดและต่ำสุดของสัญญาณ ในทางคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนเป็น

$$ BW = f_ {max} - f_ {min} $$

พิจารณาสมการของคลื่นมอดูเลตแอมพลิจูดต่อไปนี้

$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + \ mu \ cos \ left (2 \ pi f_m t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$

$$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + A_c \ mu \ cos (2 \ pi f_ct) \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) $$

$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c + f_m \ right) t \ right] + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $

ดังนั้นคลื่นมอดูเลตแอมพลิจูดจึงมีสามความถี่ ความถี่เหล่านี้คือความถี่ของผู้ให้บริการ $ f_c $ ความถี่ไซด์แบนด์ด้านบน $ f_c + f_m $ และความถี่ด้านข้างต่ำกว่า $ f_c-f_m $

ที่นี่

$ f_ {max} = f_c + f_m $ และ $ f_ {min} = f_c-f_m $

แทนค่า $ f_ {max} $ และ $ f_ {min} $ ในสูตรแบนด์วิดท์

$$ BW = f_c + f_m- \ left (f_c-f_m \ right) $$

$$ \ Rightarrow BW = 2f_m $$

ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าแบนด์วิดท์ที่ต้องการสำหรับคลื่นมอดูเลตแอมพลิจูดเป็นสองเท่าของความถี่ของสัญญาณมอดูเลต

การคำนวณกำลังของคลื่น AM

พิจารณาสมการของคลื่นมอดูเลตแอมพลิจูดต่อไปนี้

$ \ s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c + f_m \ ขวา) t \ right] + \ frac {A_c \ mu} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $

พลังของคลื่น AM เท่ากับผลรวมของพลังของพาหะไซด์แบนด์ด้านบนและส่วนประกอบความถี่ไซด์แบนด์ด้านล่าง

$$ P_t = P_c + P_ {USB} + P_ {LSB} $$

เรารู้ว่าสูตรมาตรฐานสำหรับพลังของสัญญาณ cos คือ

$$ P = \ frac {{v_ {rms}} ^ {2}} {R} = \ frac {\ left (v_m / \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {2} $$

ที่ไหน

$ v_ {rms} $ คือค่า rms ของสัญญาณ cos

$ v_m $ คือค่าสูงสุดของสัญญาณ cos

ขั้นแรกให้เราค้นหาพลังของผู้ให้บริการแถบด้านข้างด้านบนและด้านล่างทีละตัว

กำลังของผู้ให้บริการ

$$ P_c = \ frac {\ left (A_c / \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {R} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} $$

สายไฟด้านข้างด้านบน

$$ P_ {USB} = \ frac {\ left (A_c \ mu / 2 \ sqrt {2} \ right) ^ 2} {R} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ มู}} ^ {2}} {8R} $$

ในทำนองเดียวกันเราจะได้รับพลังงานแถบด้านข้างที่ต่ำกว่าเช่นเดียวกับกำลังของแถบด้านบน

$$ P_ {LSB} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$

ตอนนี้ให้เราเพิ่มพลังทั้งสามนี้เพื่อรับพลังของคลื่น AM

$$ P_t = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ {\ mu}} ^ {2}} {8R} $$

$$ \ Rightarrow P_t = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} \ right) \ left (1+ \ frac {\ mu ^ 2} {4} + \ frac {\ มู ^ 2} {4} \ right) $$

$$ \ Rightarrow P_t = P_c \ left (1+ \ frac {\ mu ^ 2} {2} \ right) $$

เราสามารถใช้สูตรข้างต้นเพื่อคำนวณกำลังของคลื่น AM เมื่อทราบกำลังพาหะและดัชนีการมอดูเลต

ถ้าดัชนีการมอดูเลต $ \ mu = 1 $ แล้วพลังของคลื่น AM จะเท่ากับ 1.5 เท่าของกำลังพาหะ ดังนั้นกำลังที่ต้องใช้ในการส่งคลื่น AM จึงเป็น 1.5 เท่าของกำลังพาหะเพื่อการมอดูเลตที่สมบูรณ์แบบ