การสื่อสารแบบอนาล็อก - การคำนวณ SNR
ในบทนี้ให้เราคำนวณ Signal to Noise Ratios และ Figure of Merits ของคลื่นมอดูเลตต่างๆซึ่งจะถูก demodulated ที่เครื่องรับ
อัตราส่วนสัญญาณต่อเสียงรบกวน
Signal-to-Noise Ratio (SNR)คืออัตราส่วนของกำลังสัญญาณต่อพลังเสียง ยิ่งค่า SNR สูงเท่าใดคุณภาพของผลลัพธ์ที่ได้รับก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น
Signal-to-Noise Ratio ที่จุดต่าง ๆ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้
Input SNR = $ \ left (SNR \ right) _I = \ frac {Average \: \: power \: \: of \: \: modulating \: \: signal} {Average \: \: power \: \: of \: \: เสียงดัง \: \: ที่ \: \: input} $
Output SNR = $ \ left (SNR \ right) _O = \ frac {Average \: \: power \: \: of \: \: demodulated \: \: signal} {Average \: \: power \: \: of \: \: เสียง \: \: ที่ \: \: output} $
Channel SNR = $ \ left (SNR \ right) _C = \ frac {Average \: \: power \: \: of \: \: modulated \: \: signal} {Average \: \: power \: \: of \: \: noise \: \: in \: \: message \: \: bandwidth} $
ร่างของบุญ
อัตราส่วนของเอาต์พุต SNR และอินพุต SNR สามารถเรียกได้ว่าเป็น Figure of Merit. แสดงโดยF. อธิบายถึงประสิทธิภาพของอุปกรณ์
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _O} {\ left (SNR \ right) _I} $$
รูปบุญของผู้รับคือ
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _O} {\ left (SNR \ right) _C} $$
เป็นเช่นนั้นเพราะสำหรับเครื่องรับช่องสัญญาณคืออินพุต
การคำนวณ SNR ในระบบ AM
พิจารณารูปแบบตัวรับสัญญาณของระบบ AM ต่อไปนี้เพื่อวิเคราะห์สัญญาณรบกวน
เรารู้ว่าคลื่น Amplitude Modulated (AM) คือ
$$ s \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + A_ck_am \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
กำลังเฉลี่ยของคลื่น AM คือ
$$ P_s = \ left (\ frac {A_c} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {A_ck_am \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2} + \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a}} ^ {2} P} {2} $ $
$$ \ Rightarrow P_s = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} P \ right)} {2} $$
พลังเสียงเฉลี่ยในแบนด์วิดท์ข้อความคือ
$$ P_ {nc} = WN_0 $$
แทนค่าเหล่านี้ใน channel SNR สูตร
$$ \ left (SNR \ right) _ {C, AM} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: AM \: \: Wave} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: in \: \: message \: \: bandwidth} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, AM} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} \ right) P } {2WN_0} $$
ที่ไหน
P คือพลังของสัญญาณข้อความ = $ \ frac {{A_ {m}} ^ {2}} {2} $
W คือแบนด์วิดท์ของข้อความ
สมมติว่า band pass noise ผสมกับคลื่น AM ในช่องดังแสดงในรูปด้านบน ชุดค่าผสมนี้ถูกนำไปใช้ที่อินพุตของ AM demodulator ดังนั้นอินพุตของ AM demodulator คือ
$$ v \ left (t \ right) = s \ left (t \ right) + n \ left (t \ right) $$
$ \ Rightarrow v \ left (t \ right) = A_c \ left [1 + k_am \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + $
$ \ left [n_1 \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] $
$ \ Rightarrow v \ left (t \ right) = \ left [A_c + A_ck_am \ left (t \ right) + n_1 \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
โดยที่ $ n_I \ left (t \ right) $ และ $ n_Q \ left (t \ right) $ อยู่ในองค์ประกอบเฟสเฟสและกำลังสองของสัญญาณรบกวน
เอาต์พุตของ AM demodulator ไม่มีอะไรนอกจากซองของสัญญาณด้านบน
$$ d \ left (t \ right) = \ sqrt {\ left [A_c + A_cK_am \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] ^ 2 + \ left (n_Q \ left (t \ right) \ right) ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow d \ left (t \ right) \ ประมาณ A_c + A_ck_am \ left (t \ right) + n_1 \ left (t \ right) $$
กำลังเฉลี่ยของสัญญาณ demodulated คือ
$$ P_m = \ left (\ frac {A_ck_am \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a} } ^ {2} P} {2} $$
กำลังเฉลี่ยของสัญญาณรบกวนที่เอาต์พุตคือ
$$ P_no = WN_0 $$
แทนค่าเหล่านี้ใน output SNR สูตร.
$$ \ left (SNR \ right) _ {O, AM} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: demodulated \: \: signal} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: Output} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, AM} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} {k_ {a}} ^ {2} P} {2WN_0} $$
แทนค่าใน Figure of merit ของสูตรตัวรับ AM
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, AM}} {\ left (SNR \ right) _ {C, AM}} $$
$$ \ Rightarrow F = \ left (\ frac {{A_ {c} ^ {2}} {k_ {a} ^ {2}} P} {2WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ { c}} ^ {2} \ left (1+ {k_ {a}} ^ {2} \ right) P} {2WN_0} \ right) $$
$$ \ Rightarrow F = \ frac {{K_ {a}} ^ {2} P} {1+ {K_ {a}} ^ {2} P} $$
ดังนั้นรูปบุญของเครื่องรับ AM จึงน้อยกว่าหนึ่ง
การคำนวณ SNR ในระบบ DSBSC
พิจารณารูปแบบตัวรับสัญญาณต่อไปนี้ของระบบ DSBSC เพื่อวิเคราะห์สัญญาณรบกวน
เรารู้ว่าคลื่นมอดูเลต DSBSC คือ
$$ s \ left (t \ right) = A_cm \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
กำลังเฉลี่ยของคลื่นมอดูเลต DSBSC คือ
$$ P_s = \ left (\ frac {A_cm \ left (t \ right)} {\ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2} $$
พลังเสียงเฉลี่ยในแบนด์วิดท์ข้อความคือ
$$ P_ {nc} = WN_0 $$
แทนค่าเหล่านี้ใน channel SNR สูตร.
$$ \ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: DSBSC \: \: modulated \: \: wave} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: in \: \: message \: \: bandwidth} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC} = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} $$
สมมติว่าสัญญาณรบกวนของแบนด์พาสผสมกับคลื่นมอดูเลต DSBSC ในช่องสัญญาณดังแสดงในรูปด้านบน ชุดค่าผสมนี้ใช้เป็นหนึ่งในอินพุตไปยังตัวปรับแต่งผลิตภัณฑ์ ดังนั้นอินพุตของโมดูเลเตอร์ผลิตภัณฑ์นี้คือ
$$ v_1 \ left (t \ right) = s \ left (t \ right) + n \ left (t \ right) $$
$$ \ Rightarrow v_1 \ left (t \ right) = A_cm \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + \ left [n_I \ left (t \ right) \ cos \ left ( 2 \ pi f_ct \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right] $$
$$ \ Rightarrow v_1 \ left (t \ right) = \ left [A_cm \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
ออสซิลเลเตอร์ภายในสร้างสัญญาณพาหะ $ c \ left (t \ right) = \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ สัญญาณนี้ถูกนำไปใช้เป็นอินพุตอื่นสำหรับโมดูเลเตอร์ผลิตภัณฑ์ ดังนั้นโมดูเลเตอร์ของผลิตภัณฑ์จึงสร้างเอาต์พุตซึ่งเป็นผลคูณของ $ v_1 \ left (t \ right) $ และ $ c \ left (t \ right) $
$$ v_2 \ left (t \ right) = v_1 \ left (t \ right) c \ left (t \ right) $$
แทนค่า $ v_1 \ left (t \ right) $ และ $ c \ left (t \ right) $ ในสมการด้านบน
$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left (\ left [A_cm \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right ) - n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right ) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
$$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right] \ left (\ frac {1+ \ cos \ left ( 4 \ pi f_ct \ right)} {2} \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ frac {\ sin \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} $$
เมื่อสัญญาณข้างต้นถูกนำไปใช้เป็นอินพุตไปยังตัวกรองความถี่ต่ำเราจะได้ผลลัพธ์ของตัวกรองความถี่ต่ำเป็น
$$ d \ left (t \ right) = \ frac {\ left [A_c m \ left (t \ right) + n_I \ left (t \ right) \ right]} {2} $$
กำลังเฉลี่ยของสัญญาณ demodulated คือ
$$ P_m = \ left (\ frac {A_cm \ left (t \ right)} {2 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {8 } $$
กำลังเฉลี่ยของสัญญาณรบกวนที่เอาต์พุตคือ
$$ P_ {no} = \ frac {WN_0} {4} $$
แทนค่าเหล่านี้ใน output SNR สูตร.
$$ \ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: demodulated \: \: signal} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: Output} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC} = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {8} \ right) / \ left (\ frac {WN_0 } {4} \ right) = \ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} $$
แทนค่าใน Figure of merit ของสูตรตัวรับ DSBSC
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, DSBSC}} {\ left (SNR \ right) _ {C, DSBSC}} $$
$$ \ Rightarrow F = \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} {2WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ {c}} ^ {2} P} { 2WN_0} \ right) $$
$$ \ Rightarrow F = 1 $$
ดังนั้นรูปของคุณสมบัติของเครื่องรับ DSBSC คือ 1
การคำนวณ SNR ในระบบ SSBSC
พิจารณารูปแบบตัวรับสัญญาณต่อไปนี้ของระบบ SSBSC เพื่อวิเคราะห์สัญญาณรบกวน
เรารู้ว่าคลื่นมอดูเลต SSBSC ที่มีแถบด้านข้างต่ำกว่าคือ
$$ s \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] $$
กำลังเฉลี่ยของคลื่นมอดูเลต SSBSC คือ
$$ P_s = \ left (\ frac {A_mA_c} {2 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8} $$
พลังเสียงเฉลี่ยในแบนด์วิดท์ข้อความคือ
$$ P_ {nc} = WN_0 $$
แทนค่าเหล่านี้ใน channel SNR สูตร.
$$ \ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: SSBSC \: \: modulated \: \: wave} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: in \: \: message \: \: bandwidth} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC} = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} $$
สมมติว่าสัญญาณรบกวนของแบนด์พาสผสมกับคลื่นมอดูเลต SSBSC ในช่องดังแสดงในรูปด้านบน ชุดค่าผสมนี้ใช้เป็นหนึ่งในอินพุตไปยังตัวปรับแต่งผลิตภัณฑ์ ดังนั้นอินพุตของโมดูเลเตอร์ผลิตภัณฑ์นี้คือ
$$ v_1 \ left (t \ right) = s \ left (t \ right) + n \ left (t \ right) $$
$$ v_1 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] + n_I \ left (t \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) $$
ออสซิลเลเตอร์ท้องถิ่นสร้างสัญญาณพาหะ $ c \ left (t \ right) = \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $ สัญญาณนี้ถูกนำไปใช้เป็นอินพุตอื่นสำหรับโมดูเลเตอร์ผลิตภัณฑ์ ดังนั้นโมดูเลเตอร์ของผลิตภัณฑ์จึงสร้างเอาต์พุตซึ่งเป็นผลคูณของ $ v_1 \ left (t \ right) $ และ $ c \ left (t \ right) $
$$ v_2 \ left (t \ right) = v_1 \ left (t \ right) c \ left (t \ right) $$
แทนค่า $ v_1 \ left (t \ right) $ และ $ c \ left (t \ right) $ ในสมการด้านบน
$ \ Rightarrow v_2 (t) = (\ frac {A_mA_c} {2} \ cos [2 \ pi (f_c-f_m) เสื้อ] + n_I (t) \ cos (2 \ pi f_ct) - $
$ n_Q (t) \ sin (2 \ pi f_ct)) \ cos (2 \ pi f_ct) $
$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left [2 \ pi \ left (f_c-f_m \ right) t \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) + $
$ n_I \ left (t \ right) \ cos ^ 2 \ left (2 \ pi f_ct \ right) -n_Q \ left (t \ right) \ sin \ left (2 \ pi f_ct \ right) \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right) $
$ \ Rightarrow v_2 \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {4} \ left \ {\ cos \ left [2 \ pi \ left (2f_c-f_m \ right) t \ right] + \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right \} + $
$ n_I \ left (t \ right) \ left (\ frac {1+ \ cos \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} \ right) - n_Q \ left (t \ right) \ frac {\ sin \ left (4 \ pi f_ct \ right)} {2} $
เมื่อสัญญาณข้างต้นถูกนำไปใช้เป็นอินพุตไปยังตัวกรองความถี่ต่ำเราจะได้ผลลัพธ์ของตัวกรองความถี่ต่ำเป็น
$$ d \ left (t \ right) = \ frac {A_mA_c} {2} \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) + \ frac {n_I \ left (t \ right)} {2} $$
กำลังเฉลี่ยของสัญญาณ demodulated คือ
$$ P_m = \ left (\ frac {A_mA_c} {4 \ sqrt {2}} \ right) ^ 2 = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {32} $$
กำลังเฉลี่ยของสัญญาณรบกวนที่เอาต์พุตคือ
$$ P_ {no} = \ frac {WN_0} {4} $$
แทนค่าเหล่านี้ใน output SNR สูตร
$$ \ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC} = \ frac {Average \: \: Power \: \: of \: \: demodulated \: \: signal} {Average \: \: Power \: \: of \: \: noise \: \: at \: \: output} $$
$$ \ Rightarrow \ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC} = \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {32} \ right ) / \ left (\ frac {WN_0} {4} \ right) = \ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} $$
แทนค่าใน Figure of merit ของสูตรรับ SSBSC
$$ F = \ frac {\ left (SNR \ right) _ {O, SSBSC}} {\ left (SNR \ right) _ {C, SSBSC}} $$
$$ F = \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} \ right) / \ left (\ frac {{A_ {m}} ^ {2} {A_ {c}} ^ {2}} {8WN_0} \ right) $$
$$ F = 1 $$
ดังนั้นรูปของคุณธรรมของเครื่องรับ SSBSC คือ 1