ฟังก์ชั่นนูนและเว้า
ให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ โดยที่ S ไม่นูนว่างตั้งไว้ใน $ \ mathbb {R} ^ n $ แล้ว $ f \ left (x \ right) $ จะบอกว่านูนบน S ถ้า $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left ( x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $.
ในทางกลับกันให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ โดยที่ S ไม่ได้กำหนดนูนว่างไว้ใน $ \ mathbb {R} ^ n $ จากนั้นจะพูด $ f \ left (x \ right) $ จะเว้าบน S ถ้า $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right ) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
ให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ โดยที่ S ไม่นูนว่างตั้งไว้ใน $ \ mathbb {R} ^ n $ แล้ว $ f \ left (x \ right) $ จะบอกว่านูนอย่างเคร่งครัดบน S ถ้า $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <\ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
ให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ โดยที่ S ไม่นูนว่างตั้งไว้ใน $ \ mathbb {R} ^ n $ จากนั้น $ f \ left (x \ right) $ จะถูกกล่าวว่าเว้าอย่างเคร่งครัดบน S ถ้า $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
ตัวอย่าง
ฟังก์ชันเชิงเส้นมีทั้งแบบนูนและเว้า
$ f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | $ คือฟังก์ชันนูน
$ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ คือฟังก์ชันนูน
ทฤษฎีบท
ให้ $ f_1, f_2, ... , f_k: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $ เป็นฟังก์ชันนูน พิจารณาฟังก์ชัน $ f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (x \ right) $ โดยที่ $ \ alpha_j> 0, j = 1, 2, ..k, $ แล้ว $ f \ left (x \ right) $ คือฟังก์ชันนูน
หลักฐาน
ตั้งแต่ $ f_1, f_2, ... f_k $ เป็นฟังก์ชันนูน
ดังนั้น $ f_i \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f_i \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f_i \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ และ $ i = 1, 2, .... , k $
พิจารณาฟังก์ชัน $ f \ left (x \ right) $
ดังนั้น,
$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) $
$ = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (\ lambda x_1 + 1- \ lambda \ right) x_2 \ leq \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 1} ^ k \ alpha_j \ แลมบ์ดา f_j \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f_j \ left (x_2 \ right) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda \ left (\ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ left ( x_1 \ right) \ right) + \ left (\ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ left (x_2 \ right) \ right) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_2 \ right) \ leq \ left (1- \ lambda \ right) f \ ซ้าย (x_2 \ right) $
ดังนั้น $ f \ left (x \ right) $ จึงเป็นฟังก์ชันนูน
ทฤษฎีบท
ให้ $ f \ left (x \ right) $ เป็นฟังก์ชันนูนบนชุดนูน $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ แล้ว minima ท้องถิ่นของ $ f \ left (x \ right) $ บน S คือ a minima ระดับโลก
หลักฐาน
ให้ $ \ hat {x} $ เป็น minima ท้องถิ่นสำหรับ $ f \ left (x \ right) $ และ $ \ hat {x} $ ไม่ใช่ global minima
ดังนั้น $ \ มีอยู่ \ hat {x} \ ใน S $ ดังนั้น $ f \ left (\ bar {x} \ right) <f \ left (\ hat {x} \ right) $
เนื่องจาก $ \ hat {x} $ เป็น minima ในท้องถิ่นจึงมีย่าน $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) $ ซึ่ง $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right) \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $
แต่ $ f \ left (x \ right) $ เป็นฟังก์ชันนูนบน S ดังนั้นสำหรับ $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
เรามี $ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ leq \ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (\ bar {x} \ right) $
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <\ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ ขวา) f \ left (\ hat {x} \ right) $
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <f \ left (\ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0 , 1 \ right) $
แต่สำหรับ $ \ lambda <1 $ แต่ใกล้เคียงกับ 1 เรามี
$ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $ และ $ f \ left ( \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ right) <f \ left (\ bar {x} \ right) $
ซึ่งเป็นความขัดแย้ง
ดังนั้น $ \ bar {x} $ จึงเป็น minima ระดับโลก
Epigraph
ให้ S เป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างใน $ \ mathbb {R} ^ n $ และปล่อยให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ ตามด้วย epigraph ของ f ที่แสดงโดย epi (f) หรือ $ E_f $ เป็นเซตย่อย ของ $ \ mathbb {R} ^ n + 1 $ กำหนดโดย $ E_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb { R}, f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $
Hypograph
ให้ S เป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างใน $ \ mathbb {R} ^ n $ และปล่อยให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ จากนั้นขีดกลางของ f แสดงด้วย hyp (f) หรือ $ H_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R}, f \ left ( x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $
ทฤษฎีบท
ให้ S เป็นชุดนูนที่ไม่ว่างใน $ \ mathbb {R} ^ n $ และให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ ดังนั้น f จะนูนก็ต่อเมื่อ epigraph $ E_f $ เป็น ชุดนูน
หลักฐาน
ให้ f เป็นฟังก์ชันนูน
การแสดง $ E_f $ คือชุดนูน
ให้ $ \ left (x_1, \ alpha_1 \ right), \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ in E_f, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
เพื่อแสดง $ \ lambda \ left (x_1, \ alpha_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ ใน E_f $
$ \ Rightarrow \ left [\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ alpha_1 + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha_2 \ right] \ ใน E_f $
$ f \ left (x_1 \ right) \ leq \ alpha _1, f \ left (x_2 \ right) \ leq \ alpha _2 $
ดังนั้น $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda \ alpha_1 + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha_2 $
Converse
ให้ $ E_f $ เป็นชุดนูน
เพื่อแสดงว่า f นูน
กล่าวคือเพื่อแสดงว่า $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ left (0, 1 \ right) $
$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right) $
ให้ $ x_1, x_2 \ in S, lambda \ in \ left (0, 1 \ right), f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} $
เนื่องจาก $ E_f $ เป็นชุดนูน $ \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ ขวา) f \ left (x_2 \ right) \ ใน E_f $
ดังนั้น $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right) $