ฟังก์ชัน Quasiconvex และ Quasiconcave

ให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ โดยที่ $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ เป็นชุดนูนที่ไม่ว่างเปล่า ฟังก์ชัน f ถูกกล่าวว่าเป็น quasiconvex ถ้าสำหรับแต่ละ $ x_1, x_2 \ ใน S $ เรามี $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

ตัวอย่างเช่น $ f \ left (x \ right) = x ^ {3} $

ให้ $ f: S \ rightarrow R $ โดยที่ $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ เป็นชุดนูนที่ไม่ว่างเปล่า ฟังก์ชัน f ถูกกล่าวว่าเป็น quasiconvex ถ้าสำหรับแต่ละ $ x_1, x_2 \ ใน S $ เรามี $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

หมายเหตุ

  • ทุกฟังก์ชันนูนเป็น quasiconvex แต่การสนทนาไม่เป็นความจริง
  • ฟังก์ชันที่เป็นทั้ง quasiconvex และ quasiconcave เรียกว่า quasimonotone

ทฤษฎีบท

ให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ และ S เป็นชุดนูนที่ไม่ว่างใน $ \ mathbb {R} ^ n $ ฟังก์ชัน f คือ quasiconvex ก็ต่อเมื่อ $ S _ {\ alpha} = \ left (x \ in S: f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $ จะนูนสำหรับแต่ละจำนวนจริง \ alpha $

หลักฐาน

ให้ f คือ quasiconvex บน S.

ให้ $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha} $ เพราะฉะนั้น $ x_1, x_2 \ ใน S $ และ $ max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

ให้ $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ แล้วปล่อยให้ $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right) , f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ Rightarrow x \ ใน S $

ดังนั้น $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

ดังนั้น $ S _ {\ alpha} $ จึงนูน

Converse

ให้ $ S _ {\ alpha} $ นูนสำหรับแต่ละ $ \ alpha $

$ x_1, x_2 \ ใน S, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $

$ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

ให้ $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

สำหรับ $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha}, \ alpha = max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ ใน S _ {\ alpha} $

$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ alpha $

ดังนั้นจึงพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท

ให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ และ S เป็นชุดนูนที่ไม่ว่างใน $ \ mathbb {R} ^ n $ ฟังก์ชัน f คือ quasiconcave ก็ต่อเมื่อ $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ ใน S: f \ left (x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $ จะนูนสำหรับแต่ละจำนวนจริง $ \ อัลฟา $.

ทฤษฎีบท

ให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ และ S เป็นชุดนูนที่ไม่ว่างใน $ \ mathbb {R} ^ n $ ฟังก์ชัน f คือ quasimonotone ก็ต่อเมื่อ $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) = \ alpha \ right \} $ จะนูนสำหรับแต่ละจำนวนจริง $ \ alpha $.