การเพิ่มประสิทธิภาพการนูน - บรรทัดฐาน

บรรทัดฐานคือฟังก์ชันที่ให้ค่าบวกอย่างเคร่งครัดกับเวกเตอร์หรือตัวแปร

Norm คือฟังก์ชัน $ f: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $

ลักษณะพื้นฐานของบรรทัดฐานคือ -

ให้ $ X $ เป็นเวกเตอร์เช่น $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $

$ \ left \ | x \ right \ | \ geq 0 $
$ \ left \ | x \ right \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ ใน X $
$ \ left \ | \ alpha x \ right \ | = \ left | \ alpha \ right | \ left \ | x \ right \ | \ forall \: x \ ใน X และ \: \ alpha \: คือ \: a \: สเกลาร์ $
$ \ left \ | x + y \ right \ | \ leq \ left \ | x \ right \ | + \ left \ | ใช่ \ | \ forall x, y \ ใน X $
$ \ left \ | xy \ right \ | \ geq \ left \ | \ ซ้าย \ | x \ right \ | - \ left \ | ใช่ \ | \ right \ | $

ตามความหมายบรรทัดฐานคำนวณได้ดังนี้ -

$ \ left \ | x \ right \ | _1 = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | $
$ \ left \ | x \ right \ | _2 = \ left (\ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $
$ \ left \ | x \ right \ | _p = \ left (\ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ p \ right) ^ {\ frac {1} {p}}, 1 \ leq p \ leq \ infty $

Norm เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

หลักฐาน

ตามความหมายถ้า $ x_n \ rightarrow x $ ใน $ X \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $ แล้ว $ f \ left (x \ right) $ เป็นฟังก์ชันคงที่

ให้ $ f \ left (x \ right) = \ left \ | x \ right \ | $

ตั้งแต่ $ x_n \ rightarrow x $ ดังนั้น $ \ left \ | x_n-x \ right \ | \ rightarrow 0 $

ดังนั้น $ \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | \ leq 0 \ Rightarrow \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | = 0 \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $

ดังนั้นบรรทัดฐานจึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง