ฟังก์ชัน Quasiconvex อย่างเคร่งครัด

ให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ และ S เป็นชุดนูนที่ไม่ว่างใน $ \ mathbb {R} ^ n $ ดังนั้น f จะกล่าวว่าเป็นฟังก์ชัน quasicovex อย่างเคร่งครัดถ้าสำหรับแต่ละ $ x_1, x_2 \ ใน S $ กับ $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $ เรามี $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

หมายเหตุ

• ทุกฟังก์ชัน quasiconvex อย่างเคร่งครัดจะนูนอย่างเคร่งครัด
• ฟังก์ชัน quasiconvex อย่างเคร่งครัดไม่ได้หมายความถึง quasiconvexity
• ฟังก์ชัน quasiconvex อย่างเคร่งครัดอาจไม่ใช่ quasiconvex อย่างมาก
• ฟังก์ชัน Pseudoconvex เป็นฟังก์ชัน quasiconvex อย่างเคร่งครัด

ทฤษฎีบท

ให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ เป็นฟังก์ชัน quasiconvex อย่างเคร่งครัดและ S เป็นชุดนูนที่ไม่ว่างเปล่าใน $ \ mathbb {R} ^ n $ พิจารณาปัญหา: $ min \: f \ left (x \ right), x \ ใน S $ หาก $ \ hat {x} $ เป็นโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดในท้องถิ่น $ \ bar {x} $ คือโซลูชันที่ดีที่สุดระดับโลก

หลักฐาน

ให้มี $ \ bar {x} \ ใน S $ เช่นนั้น $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (\ hat {x} \ right) $

เนื่องจาก $ \ bar {x} \ hat {x} \ ใน S $ และ S เป็นชุดนูนดังนั้น

$$ \ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ in S, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

เนื่องจาก $ \ hat {x} $ เป็น minima ท้องถิ่น $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ หมวก {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, \ delta \ right) $

เนื่องจาก f คือ quasiconvex อย่างเคร่งครัด

$$ f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right) <max \ left \ {f \ left (\ hat {x} \ right) , f \ left (\ bar {x} \ right) \ right \} = f \ left (\ hat {x} \ right) $$

ดังนั้นจึงเป็นความขัดแย้ง

ฟังก์ชัน quasiconcave อย่างเคร่งครัด

ให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ และ S เป็นชุดนูนที่ไม่ว่างใน $ \ mathbb {R} ^ n $ จากนั้น f จะเป็นฟังก์ชัน quasicovex อย่างเคร่งครัดถ้าสำหรับแต่ละ $ x_1 x_2 \ ใน S $ กับ $ f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right) $ เรามี

$$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$.

ตัวอย่าง

• $ f \ left (x \ right) = x ^ 2-2 $

  เป็นฟังก์ชัน quasiconvex อย่างเคร่งครัดเพราะถ้าเรานำจุดใด ๆ $ x_1, x_2 $ ในโดเมนที่ตรงตามข้อ จำกัด ในนิยาม $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $ เนื่องจากฟังก์ชันลดลงในแกน x เชิงลบและจะเพิ่มขึ้นในแกน x ที่เป็นบวก ( เนื่องจากเป็นพาราโบลา)

• $ f \ left (x \ right) = - x ^ 2 $

  ไม่ใช่ฟังก์ชัน quasiconvex อย่างเคร่งครัดเพราะถ้าเรารับ $ x_1 = 1 $ และ $ x_2 = -1 $ และ $ \ lambda = 0.5 $ แล้ว $ f \ left (x_1 \ right) = - 1 = f \ left ( x_2 \ right) $ แต่ $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) = 0 $ ดังนั้นจึงไม่เป็นไปตามเงื่อนไขที่ระบุไว้ในคำจำกัดความ แต่เป็นฟังก์ชัน quasiconcave เพราะถ้าเราใช้จุดสองจุดในโดเมนที่ตรงตามข้อ จำกัด ในนิยาม $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $ เนื่องจากฟังก์ชันเพิ่มขึ้นในแกน x เชิงลบและกำลังลดลงในแกน x บวก