ฟังก์ชัน Quasiconvex อย่างมาก

ให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ และ S เป็นชุดนูนที่ไม่ว่างใน $ \ mathbb {R} ^ n $ จากนั้น f เป็นฟังก์ชัน quasiconvex อย่างยิ่งถ้าสำหรับ $ x_1 ใด ๆ x_2 \ ใน S $ กับ $ \ left (x_1 \ right) \ neq \ left (x_2 \ right) $ เรามี $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ ซ้าย \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $

ทฤษฎีบท

ฟังก์ชัน quasiconvex $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ บนชุดนูนที่ไม่ว่างเปล่า S ใน $ \ mathbb {R} ^ n $ เป็นฟังก์ชัน quasiconvex อย่างยิ่งถ้ามันไม่คงที่ในส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมกับใด ๆ คะแนนของ S.

หลักฐาน

ให้ f เป็นฟังก์ชัน quasiconvex และไม่คงที่ในส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดใด ๆ ของ S

สมมติว่า f ไม่ใช่ฟังก์ชัน quasiconvex อย่างยิ่ง

มีอยู่ $ x_1, x_2 \ ใน S $ กับ $ x_1 \ neq x_2 $ เช่นนั้น

$$ f \ left (z \ right) \ geq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall z = \ lambda x_1 + \ left (1 - \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$

$ \ Rightarrow f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ และ $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $

เนื่องจาก f ไม่คงที่ใน $ \ left [x_1, z \ right] $ และ $ \ left [z, x_2 \ right] $

ดังนั้นจึงมี $ u \ in \ left [x_1, z \ right] $ และ $ v = \ left [z, x_2 \ right] $

$$ \ Rightarrow u = \ mu_1x_1 + \ left (1- \ mu_1 \ right) z, v = \ mu_2z + \ left (1- \ mu_2 \ right) x_2 $$

เนื่องจาก f คือ quasiconvex

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (z \ right) \ right \} = f \ left (z \ right) \ : \: and \: \: f \ left (v \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (z \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (z \ right) \: \: and \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ $

$$ \ Rightarrow max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $$

แต่ z คือจุดใด ๆ ระหว่าง u กับ v ถ้ามีค่าเท่ากัน f จะคงที่

ดังนั้น $ max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $

ซึ่งขัดแย้งกับ quasiconvexity ของ f เป็น $ z \ in \ left [u, v \ right] $

ดังนั้น f จึงเป็นฟังก์ชัน quasiconvex อย่างมาก

ทฤษฎีบท

ให้ $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ และ S เป็นชุดนูนที่ไม่ว่างเปล่าใน $ \ mathbb {R} ^ n $ หาก $ \ hat {x} $ เป็นโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดในท้องถิ่น $ \ hat {x} $ คือโซลูชันที่เหมาะสมระดับโลกโดยเฉพาะ

หลักฐาน

เนื่องจากฟังก์ชัน quasiconvex ที่แข็งแกร่งยังเป็นฟังก์ชัน quasiconvex อย่างเคร่งครัดดังนั้นโซลูชันที่เหมาะสมในท้องถิ่นจึงเป็นโซลูชันที่ดีที่สุดระดับโลก

Uniqueness - ให้ f บรรลุโซลูชันที่ดีที่สุดระดับโลกที่สองจุด $ u, v \ ใน S $

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (x \ right) \ forall x \ in S \: \: and \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ ซ้าย (x \ right) \ forall x \ ใน S $$

ถ้าคุณเป็นโซลูชันที่ดีที่สุดในระดับโลก $ f \ left (u \ right) \ leq f \ left (v \ right) $ และ $ f \ left (v \ right) \ leq f \ left (u \ right) \ Rightarrow f \ left (u \ right) = f \ left (v \ right) $

$$ f \ left (\ lambda u + \ left (1- \ lambda \ right) v \ right) <max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} = f \ left (u \ right) $$

ซึ่งเป็นความขัดแย้ง

ดังนั้นจึงมีโซลูชันที่ดีที่สุดเพียงหนึ่งเดียวในระดับโลก

หมายเหตุ

• ฟังก์ชัน quasiconvex อย่างยิ่งยังเป็นฟังก์ชัน quasiconvex อย่างเคร่งครัด
• ฟังก์ชันนูนอย่างเคร่งครัดอาจเป็นหรือไม่เป็น quasiconvex อย่างมาก
• ความนูนที่แตกต่างกันอย่างเคร่งครัดคือ quasiconvex อย่างมาก