ทฤษฎีบทกะรัต

ให้ S เป็นชุดโดยพลการใน $ \ mathbb {R} ^ n $ ถ้า $ x \ in Co \ left (S \ right) $ แล้ว $ x \ in Co \ left (x_1, x_2, .... , x_n, x_ {n + 1} \ right) $.

หลักฐาน

ตั้งแต่ $ x \ in Co \ left (S \ right) $ ดังนั้น $ x $ จึงถูกแทนด้วยการรวมกันของจำนวนจุด จำกัด ใน S นั่นคือ

$ x = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 1} ^ k \ lambda_jx_j, \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 1} ^ k \ lambda_j = 1, \ lambda_j \ geq 0 $ และ $ x_j \ in S, \ forall j \ in \ left (1, k \ right) $

ถ้า $ k \ leq n + 1 $ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจริงอย่างชัดเจน

ถ้า $ k \ geq n + 1 $ ดังนั้น $ \ left (x_2-x_1 \ right) \ left (x_3-x_1 \ right), ..... , \ left (x_k-x_1 \ right) $ จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้น .

$ \ Rightarrow \ มีอยู่ \ mu _j \ in \ mathbb {R}, 2 \ leq j \ leq k $ (ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด) เช่น $ \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 2} ^ k \ mu _j \ left (x_j-x_1 \ right) = 0 $

กำหนด $ \ mu_1 = - \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 2} ^ k \ mu _j $ แล้ว $ \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 1} ^ k \ mu_j x_j = 0, \ displaystyle \ sum \ Limit_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $

โดยที่ $ ของ $ \ mu_j ไม่ใช่ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ ตั้งแต่ $ \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $ อย่างน้อยหนึ่งใน $ \ mu_j> 0,1 \ leq j \ leq k $

จากนั้น $ x = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {1} ^ k \ lambda_j x_j + 0 $

$ x = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {1} ^ k \ lambda_j x_j- \ alpha \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {1} ^ k \ mu_j x_j $

$ x = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $

เลือก $ \ alpha $ ให้ $ \ alpha = min \ left \ {\ frac {\ lambda_j} {\ mu_j}, \ mu_j \ geq 0 \ right \} = \ frac {\ lambda_j} {\ mu _j}, $ สำหรับบาง $ i = 1,2, ... , k $

ถ้า $ \ mu_j \ leq 0, \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0 $

ถ้า $ \ mu_j> 0 แล้ว \: \ frac {\ lambda _j} {\ mu_j} \ geq \ frac {\ lambda_i} {\ mu _i} = \ alpha \ Rightarrow \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0, j = 1,2, ... k $

โดยเฉพาะ $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $ ตามคำจำกัดความของ $ \ alpha $

$ x = \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $ โดยที่

$ \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq0 $ และ $ \ displaystyle \ sum \ LIMIT_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) = 1 $ และ $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

ดังนั้นจึงสามารถแทนค่า x เป็นการรวมกันของจุดสูงสุด (k-1) ได้

กระบวนการลดนี้สามารถทำซ้ำได้จนกว่า x จะแสดงเป็นการรวมกันขององค์ประกอบ (n + 1)