คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง - ฟังก์ชัน

ก Functionกำหนดให้กับแต่ละองค์ประกอบของชุดหนึ่งองค์ประกอบของชุดที่เกี่ยวข้อง ฟังก์ชันจะค้นหาแอปพลิเคชันในสาขาต่างๆเช่นการแสดงความซับซ้อนในการคำนวณของอัลกอริทึมการนับวัตถุการศึกษาลำดับและสตริงเพื่อตั้งชื่อไม่กี่ บทที่สามและสุดท้ายของส่วนนี้เน้นถึงลักษณะสำคัญของฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน - คำจำกัดความ

ฟังก์ชันหรือการแมป (กำหนดเป็น $ f: X \ rightarrow Y $) คือความสัมพันธ์จากองค์ประกอบของชุดหนึ่ง X ไปยังองค์ประกอบของอีกชุดหนึ่ง Y (X และ Y เป็นชุดที่ไม่ว่างเปล่า) X เรียกว่าโดเมนและ Y เรียกว่า Codomain ของฟังก์ชัน 'f'

ฟังก์ชัน 'f' คือความสัมพันธ์บน X และ Y ดังนั้นสำหรับแต่ละ $ x \ ใน X $ จะมี $ y \ ใน Y $ ที่ไม่ซ้ำกันซึ่ง $ (x, y) \ ใน R $ 'x' เรียกว่า pre-image และ 'y' เรียกว่า image of function f

ฟังก์ชันสามารถเป็นหนึ่งต่อหนึ่งหรือหลายต่อหนึ่ง แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหลาย

ฟังก์ชัน Injective / One-to-one

ฟังก์ชัน $ f: A \ rightarrow B $ เป็นฟังก์ชันแบบฉีดหรือแบบหนึ่งต่อหนึ่งหากสำหรับทุกๆ $ b \ in B $ จะมีอยู่มากที่สุด $ a \ ใน A $ ซึ่ง $ f (s) = t $ .

ซึ่งหมายถึงฟังก์ชัน f เป็นแบบฉีดหาก $ a_1 \ ne a_2 $ หมายถึง $ f (a1) \ ne f (a2) $

ตัวอย่าง

• $ f: N \ rightarrow N, f (x) = 5x $ เป็นแบบฉีด

• $ f: N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2 $ เป็นแบบฉีด

• $ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ ไม่ใช่การฉีดเป็น $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $

ฟังก์ชัน Surjective / Onto

ฟังก์ชัน $ f: A \ rightarrow B $ คือการคาดเดา (ไปยัง) ถ้าภาพของ f เท่ากับช่วงของมัน ในทางเดียวกันสำหรับทุก ๆ $ b \ ใน B $ จะมี $ a \ ใน A $ อยู่บ้างซึ่ง $ f (a) = b $ ซึ่งหมายความว่าสำหรับ y ใด ๆ ใน B มีค่า x อยู่ใน A ซึ่ง $ y = f (x) $

ตัวอย่าง

• $ f: N \ rightarrow N, f (x) = x + 2 $ คือการคาดเดา

• $ f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2 $ ไม่ใช่การคาดเดาเนื่องจากเราไม่สามารถหาจำนวนจริงที่กำลังสองเป็นลบ

Bijective / One-to-one Correspondent

ฟังก์ชั่น $ f: A \ rightarrow B $ เป็นผู้สื่อข่าวแบบ bijective หรือแบบตัวต่อตัวในกรณีที่ f มีทั้งแบบฉีดและแบบผ่าตัด

ปัญหา

พิสูจน์ว่าฟังก์ชัน $ f: R \ rightarrow R $ ที่กำหนดโดย $ f (x) = 2x - 3 $ เป็นฟังก์ชัน bijective

Explanation - เราต้องพิสูจน์ว่าฟังก์ชั่นนี้มีทั้งแบบฉีดและแบบคาดเดา

ถ้า $ f (x_1) = f (x_2) $ แล้ว $ 2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 $ และหมายความว่า $ x_1 = x_2 $

ดังนั้น f คือ injective.

ที่นี่ $ 2x - 3 = y $

ดังนั้น $ x = (y + 5) / 3 $ ซึ่งเป็นของ R และ $ f (x) = y $

ดังนั้น f คือ surjective.

ตั้งแต่ f เป็นทั้งสองอย่าง surjective และ injectiveเราสามารถพูดได้ f คือ bijective.

ผกผันของฟังก์ชัน

inverse ของฟังก์ชันที่สอดคล้องกันแบบตัวต่อตัว $ f: A \ rightarrow B $ คือฟังก์ชัน $ g: B \ rightarrow A $ ถือคุณสมบัติต่อไปนี้ -

$ f (x) = y \ Leftrightarrow g (y) = x $

ฟังก์ชัน f ถูกเรียกใช้ invertibleถ้ามีฟังก์ชันผกผัน g อยู่

ตัวอย่าง

• ฟังก์ชั่น $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5 $ เป็นแบบกลับด้านเนื่องจากมีฟังก์ชันผกผัน $ g: Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5 $

• ฟังก์ชัน $ f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2 $ ไม่สามารถกลับด้านได้เนื่องจากไม่ใช่ตัวต่อตัวเป็น $ (- x) ^ 2 = x ^ 2 $

องค์ประกอบของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นสองอย่าง $ f: A \ rightarrow B $ และ $ g: B \ rightarrow C $ สามารถแต่งเพื่อให้องค์ประกอบ $ gof $ นี่คือฟังก์ชันจาก A ถึง C ที่กำหนดโดย $ (gof) (x) = g (f (x)) $

ตัวอย่าง

ให้ $ f (x) = x + 2 $ และ $ g (x) = 2x + 1 $ หา $ (fog) (x) $ และ $ (gof) (x) $

วิธีการแก้

$ (หมอก) (x) = f (g (x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3 $

$ (gof) (x) = g (f (x)) = g (x + 2) = 2 (x + 2) + 1 = 2x + 5 $

ดังนั้น $ (หมอก) (x) \ neq (gof) (x) $

ข้อเท็จจริงบางประการเกี่ยวกับองค์ประกอบ

• ถ้า f และ g เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งฟังก์ชัน $ (gof) $ ก็เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งเช่นกัน

• ถ้า f และ g อยู่บนฟังก์ชัน $ (gof) $ ก็เข้าสู่

• การจัดองค์ประกอบถือทรัพย์สินที่เชื่อมโยงกันเสมอ แต่ไม่ถือคุณสมบัติการสับเปลี่ยน