คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง - ลอจิกพรีดิเคต

Predicate Logic เกี่ยวข้องกับเพรดิเคตซึ่งเป็นประพจน์ที่มีตัวแปร

Predicate Logic - คำจำกัดความ

เพรดิเคตคือนิพจน์ของตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปที่กำหนดไว้ในโดเมนเฉพาะบางโดเมน เพรดิเคตที่มีตัวแปรสามารถสร้างเป็นประพจน์ได้โดยการกำหนดค่าให้กับตัวแปรหรือโดยการหาจำนวนตัวแปร

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างบางส่วนของเพรดิเคต -

• ให้ E (x, y) แสดงว่า "x = y"
• ให้ X (a, b, c) แสดงว่า "a + b + c = 0"
• ให้ M (x, y) แสดงว่า "x แต่งงานกับ y"

สูตรที่สร้างขึ้นอย่างดี

Well Formed Formula (wff) เป็นเพรดิเคตที่มีสิ่งต่อไปนี้ -

• ค่าคงที่เชิงประพจน์และตัวแปรเชิงประพจน์ทั้งหมดเป็น wffs

• ถ้า x เป็นตัวแปรและ Y เป็น wff $ \ forall x Y $ และ $ \ อยู่ x Y $ ก็เป็น wff ด้วย

• ค่าความจริงและค่าเท็จคือ wffs

• สูตรอะตอมแต่ละสูตรคือ wff

• การเชื่อมต่อทั้งหมดที่เชื่อมต่อ wffs เป็น wffs

Quantifiers

ตัวแปรของเพรดิเคตถูกหาค่าโดยตัวระบุปริมาณ มีสองประเภทของตัวระบุในลอจิกเพรดิเคต - Universal Quantifier และ Existential Quantifier

Universal Quantifier

Universal quantifier ระบุว่าคำสั่งภายในขอบเขตเป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปรเฉพาะ แสดงด้วยสัญลักษณ์ $ \ forall $

$ \ forall x P (x) $ ถูกอ่านสำหรับทุกค่าของ x, P (x) เป็นจริง

Example - "มนุษย์เป็นมรรตัย" สามารถเปลี่ยนเป็นรูปแบบประพจน์ $ \ forall x P (x) $ โดยที่ P (x) คือเพรดิเคตที่แสดงว่า x เป็นมนุษย์และจักรวาลของวาทกรรมคือผู้ชายทั้งหมด

ตัวบ่งชี้ที่มีอยู่

Existential quantifier ระบุว่าข้อความภายในขอบเขตเป็นจริงสำหรับค่าบางค่าของตัวแปรเฉพาะ แสดงโดยสัญลักษณ์ $ \ มีอยู่ $

$ \ มีอยู่ x P (x) $ ถูกอ่านสำหรับค่าบางค่าของ x, P (x) เป็นจริง

Example - "บางคนไม่ซื่อสัตย์" สามารถเปลี่ยนเป็นรูปแบบประพจน์ $ \ มีอยู่ x P (x) $ โดยที่ P (x) คือเพรดิเคตที่แสดงว่า x ไม่ซื่อสัตย์และจักรวาลของวาทกรรมคือบางคน

Quantifier ที่ซ้อนกัน

ถ้าเราใช้ตัวระบุปริมาณที่ปรากฏภายในขอบเขตของตัวระบุตัวระบุอื่นจะเรียกว่าตัวบ่งชี้ที่ซ้อนกัน

Example

• $ \ forall \ a \: \ มีอยู่ b \: P (x, y) $ โดยที่ $ P (a, b) $ หมายถึง $ a + b = 0 $

• $ \ forall \ a \: \ forall \: b \: \ forall \: c \: P (a, b, c) $ โดยที่ $ P (a, b) $ หมายถึง $ a + (b + c) = ( a + b) + c $

Note - $ \ forall \: a \: \ มีอยู่ b \: P (x, y) \ ne \ มีอยู่ a \: \ forall b \: P (x, y) $