คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง - ความน่าจะเป็น

ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของการนับคือความน่าจะเป็น เรามักจะพยายามเดาผลลัพธ์ของเกมแห่งการเสี่ยงโชคเช่นเกมไพ่สล็อตแมชชีนและลอตเตอรี่ กล่าวคือเราพยายามค้นหาความเป็นไปได้หรือความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์ที่เฉพาะเจาะจง

Probabilityสามารถกำหนดแนวความคิดได้ว่าเป็นการค้นหาโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ขึ้น ในทางคณิตศาสตร์เป็นการศึกษากระบวนการสุ่มและผลลัพธ์ของมัน กฎแห่งความน่าจะเป็นมีผลบังคับใช้อย่างกว้างขวางในหลากหลายสาขาเช่นพันธุศาสตร์การพยากรณ์อากาศการสำรวจความคิดเห็นตลาดหุ้นเป็นต้น

แนวคิดพื้นฐาน

ทฤษฎีความน่าจะเป็นถูกคิดค้นขึ้นในศตวรรษที่ 17 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสสองคนคือเบลสปาสคาลและปิแอร์เดอแฟร์มาต์ซึ่งกำลังจัดการกับปัญหาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับโอกาส

ก่อนที่จะดำเนินการต่อในรายละเอียดของความน่าจะเป็นให้เราเข้าใจแนวคิดของคำจำกัดความบางอย่าง

Random Experiment- การทดลองที่ทราบผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดและไม่สามารถคาดเดาผลลัพธ์ที่แน่นอนได้ล่วงหน้าเรียกว่าการทดลองแบบสุ่ม การโยนเหรียญยุติธรรมเป็นตัวอย่างของการทดลองแบบสุ่ม

Sample Space- เมื่อเราทำการทดลองชุด S ของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเรียกว่าพื้นที่ตัวอย่าง ถ้าเราโยนเหรียญพื้นที่ตัวอย่าง $ S = \ left \ {H, T \ right \} $

Event- ส่วนย่อยของพื้นที่ตัวอย่างใด ๆ เรียกว่าเหตุการณ์ หลังจากโยนเหรียญแล้วการที่ Head อยู่ด้านบนคือเหตุการณ์

คำว่า "ความน่าจะเป็น" หมายถึงโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง สิ่งที่ดีที่สุดที่เราสามารถพูดได้คือความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นโดยใช้แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็น

$ Probability \: of \: occurence \: of \: an \: event = \ frac {Total \: number \: of \: favorable \: outcome} {Total \: number \: of \: Outcomes} $

เนื่องจากการเกิดเหตุการณ์ใด ๆ แตกต่างกันไประหว่าง 0% ถึง 100% ความน่าจะเป็นจึงแตกต่างกันไประหว่าง 0 ถึง 1

ขั้นตอนในการค้นหาความน่าจะเป็น

ขั้นตอนที่ 1 - คำนวณผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดสอบ

ขั้นตอนที่ 2 - คำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่ดีของการทดสอบ

ขั้นตอนที่ 3 - ใช้สูตรความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน

การโยนเหรียญ

หากโยนเหรียญจะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองประการ - Heads $ (H) $ หรือ Tails $ (T) $

ดังนั้นจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด = 2

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้ Head $ (H) $ อยู่ด้านบนคือ 1/2 และความน่าจะเป็นที่จะได้ Tails $ (T) $ อยู่ด้านบนคือ 1/2

ทอยลูกเต๋า

เมื่อทอยลูกเต๋าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หกอย่างอาจอยู่ด้านบน - $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $

ความน่าจะเป็นของตัวเลขใดตัวหนึ่งคือ 1/6

ความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคู่คือ 3/6 = 1/2

ความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคี่คือ 3/6 = 1/2

รับการ์ดจากเด็ค

จากสำรับไพ่ 52 ใบหากหยิบไพ่หนึ่งใบให้ค้นหาความน่าจะเป็นของเอซที่ถูกดึงออกมาและค้นหาความน่าจะเป็นของการดึงเพชร

จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด - 52

ผลลัพธ์ของการเป็นเอซ - 4

ความน่าจะเป็นของการเป็นเอซ = 4/52 = 1/13

ความน่าจะเป็นเพชร = 13/52 = 1/4

สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะแตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึง 1 เสมอ $ [0 \ leq P (x) \ leq 1] $
สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ความน่าจะเป็นคือ 0 และสำหรับเหตุการณ์หนึ่งความน่าจะเป็นคือ 1
หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่ได้รับอิทธิพลจากเหตุการณ์อื่นพวกเขาจะเรียกว่าเหตุการณ์พิเศษซึ่งกันและกันหรือไม่ปะติดปะต่อกัน

ถ้า $ A_1, A_2 .... A_n $ เป็นเหตุการณ์เฉพาะ / ไม่ปะติดปะต่อกันดังนั้น $ P (A_i \ cap A_j) = \ emptyset $ สำหรับ $ i \ ne j $ และ $ P (A_1 \ cup A_2 \ cup .. .. A_n) = P (A_1) + P (A_2) + ..... P (A_n) $

คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

หากมีเหตุการณ์สองเหตุการณ์ $ x $ และ $ \ overline {x} $ ซึ่งเสริมกันความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เสริมคือ -

$$ p (\ overline {x}) = 1-p (x) $$
สำหรับสองเหตุการณ์ที่ไม่ปะติดปะต่อ A และ B ความน่าจะเป็นของการรวมกันของสองเหตุการณ์ -

$ P (A \ cup B) = P (A) + P (B) $
ถ้าเหตุการณ์ A เป็นส่วนย่อยของเหตุการณ์อื่น B (เช่น $ A \ subset B $) ความน่าจะเป็นของ A จะน้อยกว่าหรือเท่ากับความน่าจะเป็นของ B ดังนั้น $ A \ subset B $ จึงหมายถึง $ P (A ) \ leq p (B) $

ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข

ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของเหตุการณ์ B คือความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้นเนื่องจากเหตุการณ์ A ได้เกิดขึ้นแล้ว สิ่งนี้เขียนเป็น $ P (B | A) $

ในทางคณิตศาสตร์ - $ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) $

หากเหตุการณ์ A และ B ไม่รวมกันดังนั้นความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของเหตุการณ์ B หลังจากเหตุการณ์ A จะเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ที่เท่ากับ $ P (B) $

Problem 1

ในประเทศหนึ่ง ๆ วัยรุ่น 50% เป็นเจ้าของจักรยานและ 30% ของวัยรุ่นทั้งหมดเป็นเจ้าของจักรยานและจักรยาน ความน่าจะเป็นที่วัยรุ่นเป็นเจ้าของจักรยานคืออะไรเนื่องจากวัยรุ่นเป็นเจ้าของวงจร?

Solution

สมมติว่า A เป็นเหตุการณ์ของวัยรุ่นที่เป็นเจ้าของจักรยานเท่านั้นและ B คือเหตุการณ์ของวัยรุ่นที่มีจักรยานเท่านั้น

ดังนั้น $ P (A) = 50/100 = 0.5 $ และ $ P (A \ cap B) = 30/100 = 0.3 $ จากปัญหาที่กำหนด

$ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) = 0.3 / 0.5 = 0.6 $

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่วัยรุ่นเป็นเจ้าของจักรยานเนื่องจากวัยรุ่นเป็นเจ้าของวงจรคือ 60%

Problem 2

ในชั้นเรียน 50% ของนักเรียนทั้งหมดเล่นคริกเก็ตและ 25% ของนักเรียนทั้งหมดเล่นคริกเก็ตและวอลเลย์บอล ความน่าจะเป็นที่นักเรียนเล่นวอลเลย์บอลคืออะไรเนื่องจากนักเรียนเล่นคริกเก็ต

Solution

สมมติว่า A เป็นเหตุการณ์ของนักเรียนที่เล่นคริกเก็ตเท่านั้นและ B คือเหตุการณ์ของนักเรียนที่เล่นวอลเลย์บอลเท่านั้น

ดังนั้น $ P (A) = 50/100 = 0.5 $ และ $ P (A \ cap B) = 25/100 = 0.25 $ จากโจทย์ที่กำหนด

$ P \ lgroup B \ rvert A \ rgroup = P \ lgroup A \ cap B \ rgroup / P \ lgroup A \ rgroup = 0.25 / 0.5 = 0.5 $

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นักเรียนเล่นวอลเลย์บอลเนื่องจากนักเรียนเล่นคริกเก็ตคือ 50%

Problem 3

แล็ปท็อปที่ดีหกเครื่องและแล็ปท็อปที่มีข้อบกพร่องสามเครื่องผสมกัน หากต้องการค้นหาแล็ปท็อปที่มีข้อบกพร่องทั้งหมดนี้จะถูกทดสอบทีละเครื่องแบบสุ่ม ความเป็นไปได้ที่จะพบแล็ปท็อปทั้งสองเครื่องที่มีข้อบกพร่องในการเลือกสองครั้งแรกเป็นอย่างไร

Solution

ให้ A เป็นเหตุการณ์ที่เราพบแล็ปท็อปที่มีข้อบกพร่องในการทดสอบครั้งแรกและ B เป็นเหตุการณ์ที่เราพบแล็ปท็อปที่มีข้อบกพร่องในการทดสอบครั้งที่สอง

ดังนั้น $ P (A \ cap B) = P (A) P (B | A) = 3/9 \ times 2/8 = 1/12 $

ทฤษฎีบทของ Bayes

Theorem- ถ้า A และ B เป็นสองเหตุการณ์ที่ไม่ซ้ำกันโดยที่ $ P (A) $ คือความน่าจะเป็นของ A และ $ P (B) $ คือความน่าจะเป็นของ B, $ P (A | B) $ คือความน่าจะเป็นของ A ที่กำหนด B นั้นเป็นความจริง $ P (B | A) $ คือความน่าจะเป็นของ B ที่กำหนดว่า A เป็นจริงแล้วจึงเป็นสถานะของทฤษฎีบทของเบย์ -

$$ P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P (B | Ai) P (Ai)} $$

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเบย์

ในสถานการณ์ที่เหตุการณ์ทั้งหมดของพื้นที่ตัวอย่างเป็นเหตุการณ์พิเศษซึ่งกันและกัน
ในสถานการณ์ที่ทราบ $ P (A_i \ cap B) $ สำหรับแต่ละ $ A_i $ หรือ $ P (A_i) $ และ $ P (B | A_i) $ สำหรับแต่ละ $ A_i $

Problem

พิจารณาสามปากกา แท่นวางปากการุ่นแรกประกอบด้วยปากกาสีแดง 2 ด้ามและปากกาสีน้ำเงิน 3 ด้าม อันที่สองมีปากกาสีแดง 3 ด้ามและปากกาสีน้ำเงิน 2 ด้าม ส่วนอันที่สามมีปากกาสีแดง 4 ด้ามและปากกาสีน้ำเงิน 1 ด้าม มีความเป็นไปได้ที่จะเลือกแท่นวางปากกาแต่ละอันเท่ากัน หากสุ่มจับปากกาหนึ่งด้ามความน่าจะเป็นที่จะเป็นปากกาสีแดงคืออะไร?

Solution

ให้ $ A_i $ เป็นเหตุการณ์ที่ i ^th pen-stand ถูกเลือก

ที่นี่ผม = 1,2,3

เนื่องจากความน่าจะเป็นในการเลือกแท่นวางปากกามีค่าเท่ากัน $ P (A_i) = 1/3 $

ให้ B เป็นเหตุการณ์ที่จับปากกาสีแดง

ความน่าจะเป็นที่ปากกาสีแดงถูกเลือกจากปากกาห้าด้ามของแท่นวางปากกาตัวแรก

$ P (B | A_1) = 2/5 $

ความน่าจะเป็นที่ปากกาสีแดงถูกเลือกระหว่างปากกาห้าด้ามของแท่นวางปากกาที่สอง

$ P (B | A_2) = 3/5 $

ความน่าจะเป็นที่ปากกาสีแดงถูกเลือกระหว่างปากกาห้าด้ามของแท่นวางปากกาที่สาม

$ P (B | A_3) = 4/5 $

ตามทฤษฎีบทของ Bayes