คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง - ทฤษฎีกลุ่ม

กลุ่มย่อย

ชุดที่ จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด $ 'S' $ ด้วยการดำเนินการไบนารี $ '\ omicron' $ (Composition) เรียกว่าเซมิกรุ๊ปหากมีสองเงื่อนไขพร้อมกัน -

Closure - สำหรับทุกคู่ $ (a, b) \ in S, \ :( a \ omicron b) $ จะต้องมีอยู่ในชุด $ S $
Associative - สำหรับทุกองค์ประกอบ $ a, b, c \ ใน S, (a \ omicron b) \ omicron c = a \ omicron (b \ omicron c) $ ต้องถือ

ตัวอย่าง

เซตของจำนวนเต็มบวก (ไม่รวมศูนย์) ที่มีการดำเนินการบวกคือเซมิกกรุ๊ป ตัวอย่างเช่น $ S = \ lbrace 1, 2, 3, \ dots \ rbrace $

ที่นี่คุณสมบัติการปิดจะถือสำหรับทุกคู่ $ (a, b) \ ใน S, (a + b) $ อยู่ในชุด S ตัวอย่างเช่น $ 1 + 2 = 3 \ in S] $

คุณสมบัติ Associative ยังมีไว้สำหรับทุกองค์ประกอบ $ a, b, c \ in S, (a + b) + c = a + (b + c) $ ตัวอย่างเช่น $ (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 5 $

Monoid

monoid เป็นกลุ่มกึ่งหนึ่งที่มีองค์ประกอบเอกลักษณ์ องค์ประกอบเอกลักษณ์ (แสดงโดย $ e $ หรือ E) ของชุด S เป็นองค์ประกอบที่ $ (a \ omicron e) = a $ สำหรับทุกองค์ประกอบ $ a \ ใน S $ องค์ประกอบประจำตัวเรียกอีกอย่างว่าไฟล์unit element. ดังนั้น monoid จึงมีคุณสมบัติสามอย่างพร้อมกัน -Closure, Associative, Identity element.

ตัวอย่าง

ชุดของจำนวนเต็มบวก (ไม่รวมศูนย์) ที่มีการดำเนินการคูณเป็น monoid $ S = \ lbrace 1, 2, 3, \ dots \ rbrace $

ที่นี่คุณสมบัติการปิดถือสำหรับทุกคู่ $ (a, b) \ ใน S, (a \ times b) $ อยู่ในชุด S [ตัวอย่างเช่น $ 1 \ times 2 = 2 \ ใน S $ และอื่น ๆ ]

คุณสมบัติ Associative ยังเก็บไว้สำหรับทุกองค์ประกอบ $ a, b, c \ in S, (a \ times b) \ times c = a \ times (b \ times c) $ [ตัวอย่างเช่น $ (1 \ times 2) \ times 3 = 1 \ times (2 \ times 3) = 6 $ และอื่น ๆ ]

คุณสมบัติ Identity ยังเก็บไว้สำหรับทุกองค์ประกอบ $ a \ in S, (a \ times e) = a $ [ตัวอย่างเช่น $ (2 \ times 1) = 2, (3 \ times 1) = 3 $ และอื่น ๆ ] องค์ประกอบประจำตัวที่นี่คือ 1

กลุ่ม

กลุ่มคือ monoid ที่มีองค์ประกอบผกผัน องค์ประกอบผกผัน (แสดงโดย I) ของเซต S คือองค์ประกอบที่ $ (a \ omicron I) = (I \ omicron a) = a $ สำหรับแต่ละองค์ประกอบ $ a \ ใน S $ ดังนั้นกลุ่มจึงมีคุณสมบัติสี่อย่างพร้อมกัน - i) การปิด, ii) การเชื่อมโยง, iii) องค์ประกอบประจำตัว, iv) องค์ประกอบผกผัน ลำดับของกลุ่ม G คือจำนวนองค์ประกอบใน G และลำดับขององค์ประกอบในกลุ่มเป็นจำนวนเต็มบวกน้อยที่สุด n ซึ่งเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่ม G นั้น

ตัวอย่าง

ชุดของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์ $ N \ times N $ สร้างกลุ่มภายใต้การดำเนินการคูณเมทริกซ์

ผลคูณของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์ $ N \ times N $ สองค่าเป็นเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์ $ N \ times N $ ซึ่งมีคุณสมบัติปิด

การคูณเมทริกซ์นั้นเชื่อมโยงกัน ดังนั้นการถือครองทรัพย์สินที่เชื่อมโยงกัน

ชุดของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่เอกพจน์ $ N \ times N $ มีเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่ถือคุณสมบัติองค์ประกอบเอกลักษณ์

เนื่องจากเมทริกซ์ทั้งหมดไม่เป็นเอกพจน์จึงมีองค์ประกอบผกผันซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นเอกพจน์เช่นกัน ดังนั้นคุณสมบัติผกผันยังถือ

กลุ่มอาเบเลียน

กลุ่ม abelian G คือกลุ่มที่คู่องค์ประกอบ $ (a, b) \ ใน G $ ถือกฎการสับเปลี่ยนเสมอ ดังนั้นกลุ่มจึงมีคุณสมบัติห้าอย่างพร้อมกัน - i) การปิด, ii) การเชื่อมโยง, iii) องค์ประกอบประจำตัว, iv) องค์ประกอบผกผัน, v) การสับเปลี่ยน

ตัวอย่าง

เซตของจำนวนเต็มบวก (รวมศูนย์) ที่มีการบวกคือกลุ่มเอเบเลียน $ G = \ lbrace 0, 1, 2, 3, \ dots \ rbrace $

ที่นี่คุณสมบัติการปิดถือสำหรับทุกคู่ $ (a, b) \ ใน S, (a + b) $ อยู่ในชุด S [ตัวอย่างเช่น $ 1 + 2 = 2 \ ใน S $ เป็นต้น]

คุณสมบัติ Associative ยังเก็บไว้สำหรับทุกองค์ประกอบ $ a, b, c \ in S, (a + b) + c = a + (b + c) $ [ตัวอย่างเช่น $ (1 +2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6 $ และอื่น ๆ ]

คุณสมบัติ Identity ยังเก็บไว้สำหรับทุกองค์ประกอบ $ a \ in S, (a \ times e) = a $ [ตัวอย่างเช่น $ (2 \ times 1) = 2, (3 \ times 1) = 3 $ และอื่น ๆ ] ที่นี่องค์ประกอบประจำตัวคือ 1

คุณสมบัติการสับเปลี่ยนยังถือสำหรับทุกองค์ประกอบ $ a \ in S, (a \ times b) = (b \ times a) $ [ตัวอย่างเช่น $ (2 \ times 3) = (3 \ times 2) = 3 $ เป็นต้น บน]

กลุ่มไซคลิกและกลุ่มย่อย

ก cyclic groupคือกลุ่มที่สามารถสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเดียว ทุกองค์ประกอบของกลุ่มวัฏจักรเป็นพลังขององค์ประกอบเฉพาะบางอย่างซึ่งเรียกว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้า กลุ่มวัฏจักรสามารถสร้างขึ้นโดยเครื่องกำเนิดไฟฟ้า 'g' ซึ่งองค์ประกอบอื่น ๆ ของกลุ่มสามารถเขียนเป็นพลังของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า 'g' ได้

ตัวอย่าง

ชุดของจำนวนเชิงซ้อน $ \ lbrace 1, -1, i, -i \ rbrace $ ภายใต้การดำเนินการคูณเป็นกลุ่มวัฏจักร

มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสองเครื่อง - $ i $ และ $ –i $ เป็น $ i ^ 1 = i, i ^ 2 = -1, i ^ 3 = -i, i ^ 4 = 1 $ และ $ (- i) ^ 1 = -i, (–i) ^ 2 = -1, (–i) ^ 3 = i, (–i) ^ 4 = 1 $ ซึ่งครอบคลุมองค์ประกอบทั้งหมดของกลุ่ม ดังนั้นจึงเป็นกลุ่มวัฏจักร

Note - ก cyclic groupเป็นกลุ่ม abelian เสมอ แต่ไม่ใช่ทุกกลุ่ม abelian เป็นกลุ่มวัฏจักร ตัวเลขที่เป็นเหตุเป็นผลภายใต้การบวกไม่ได้เป็นแบบวนรอบ แต่เป็นแบบอะเบลเลียน

ก subgroup H เป็นส่วนย่อยของกลุ่ม G (แสดงโดย $ H ≤ G $) หากตรงตามคุณสมบัติทั้งสี่พร้อมกัน - Closure, Associative, Identity elementและ Inverse.

กลุ่มย่อย H ของกลุ่ม G ที่ไม่รวมทั้งกลุ่ม G เรียกว่ากลุ่มย่อยที่เหมาะสม (แสดงโดย $ H <G $) กลุ่มย่อยของกลุ่มวัฏจักรคือวัฏจักรและกลุ่มย่อยอาเบเลียนก็เป็นอาเบเลียนเช่นกัน

ตัวอย่าง

ให้กลุ่ม $ G = \ lbrace 1, i, -1, -i \ rbrace $

จากนั้นกลุ่มย่อยบางกลุ่มคือ $ H_1 = \ lbrace 1 \ rbrace, H_2 = \ lbrace 1, -1 \ rbrace $,

นี่ไม่ใช่กลุ่มย่อย - $ H_3 = \ lbrace 1, i \ rbrace $ เพราะ $ (i) ^ {- 1} = -i $ ไม่อยู่ใน $ H_3 $

ชุดที่สั่งซื้อบางส่วน (POSET)

ชุดที่สั่งซื้อบางส่วนประกอบด้วยชุดที่มีความสัมพันธ์แบบไบนารีซึ่งเป็นแบบรีเฟล็กซีฟแอนตีซิมเมตริกและสกรรมกริยา "ชุดที่สั่งซื้อบางส่วน" ย่อว่า POSET

ตัวอย่าง

ชุดของจำนวนจริงภายใต้การดำเนินการไบนารีที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $ (\ le) $ เป็นตำแหน่ง

ให้ชุด $ S = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace $ และการดำเนินการคือ $ \ le $

ความสัมพันธ์จะเป็น $ \ lbrace (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3) \ rbrace $

ความสัมพันธ์ R นี้สะท้อนกลับเป็น $ \ lbrace (1, 1), (2, 2), (3, 3) \ rbrace \ ใน R $

ความสัมพันธ์ R นี้ต่อต้านสมมาตรเช่นเดียวกับ

$ \ lbrace (1, 2), (1, 3), (2, 3) \ rbrace \ ใน R \ และ \ lbrace (1, 2), (1, 3), (2, 3) \ rbrace ∉ R $

ความสัมพันธ์ R นี้ยังเป็นสกรรมกริยาเป็น $ \ lbrace (1,2), (2,3), (1,3) \ rbrace \ ใน R $

ดังนั้นจึงเป็น poset.
ชุดจุดยอดของกราฟ acyclic ที่กำหนดทิศทางภายใต้การดำเนินการ 'reachability' เป็นตำแหน่ง

แผนภาพ Hasse

แผนภาพ Hasse ของโพเซ็ตคือกราฟกำกับซึ่งจุดยอดเป็นองค์ประกอบของโพเซ็ตนั้นและส่วนโค้งครอบคลุมคู่ (x, y) ในโพเซต หากอยู่ในตำแหน่ง $ x <y $ จุด x จะปรากฏต่ำกว่าจุด y ในแผนภาพ Hasse หาก $ x <y <z $ อยู่ในตำแหน่งลูกศรจะไม่แสดงระหว่าง x และ z ตามนัย

ตัวอย่าง

ตำแหน่งของเซตย่อยของ $ \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace = \ lbrace \ emptyset, \ lbrace 1 \ rbrace, \ lbrace 2 \ rbrace, \ lbrace 3 \ rbrace, \ lbrace 1, 2 \ rbrace, \ lbrace 1 , 3 \ rbrace, \ lbrace 2, 3 \ rbrace, \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace \ rbrace $ แสดงโดยแผนภาพ Hasse ต่อไปนี้ -

ชุดสั่งซื้อเชิงเส้น

ชุดคำสั่งเชิงเส้นหรือชุดที่สั่งซื้อทั้งหมดคือชุดคำสั่งบางส่วนที่ทุกคู่ขององค์ประกอบสามารถเทียบเคียงได้ องค์ประกอบ $ a, b \ ใน S $ นั้นสามารถเทียบเคียงได้หาก $ a \ le b $ หรือ $ b \ le a $ ถือ กฎหมาย Trichotomy กำหนดชุดที่สั่งซื้อทั้งหมดนี้ ชุดที่เรียงลำดับทั้งหมดสามารถกำหนดให้เป็นช่องตาข่ายแบบกระจายที่มีคุณสมบัติ $ \ lbrace a \ lor b, a \ land b \ rbrace = \ lbrace a, b \ rbrace $ สำหรับค่าทั้งหมดของ a และ b ในชุด S

ตัวอย่าง

ชุดพาวเวอร์เซ็ตของ $ \ lbrace a, b \ rbrace $ เรียงลำดับโดย \ subseteq เป็นชุดที่เรียงลำดับโดยสมบูรณ์เป็นองค์ประกอบทั้งหมดของชุดพลังงาน lbrace a, b \ rbrace \ rbrace $ เปรียบได้

ตัวอย่างชุดคำสั่งซื้อที่ไม่ใช่ยอดรวม

ชุด $ S = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6 \ rbrace $ ภายใต้การดำเนินการ x หาร y ไม่ใช่ชุดที่สั่งทั้งหมด

ที่นี่สำหรับ $ (x, y) \ ใน S, x | ทั้งหมด y $ ต้องถือ แต่ 2 | 3 เนื่องจาก 2 ไม่หาร 3 หรือ 3 ไม่หาร 2 ดังนั้นจึงไม่ใช่ชุดที่สั่งทั้งหมด

ตาข่าย

ตาข่ายคือตำแหน่ง $ (L, \ le) $ ซึ่งทุกคู่ $ \ lbrace a, b \ rbrace \ ใน L $ มีขอบเขตบนน้อยที่สุด (แสดงด้วย $ a \ lor b $) และขอบเขตล่างที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ( แสดงโดย $ a \ land b $) LUB $ (\ lbrace a, b \ rbrace) $ เรียกว่าการรวมของ a และ b GLB $ (\ lbrace a, b \ rbrace) $ เรียกว่าการพบกันของ a และ b

ตัวอย่าง

รูปข้างบนนี้เป็นโครงตาข่ายเพราะสำหรับทุกคู่ $ \ lbrace a, b \ rbrace \ ใน L $ จะมี GLB และ LUB อยู่

รูปด้านบนนี้ไม่ใช่โครงตาข่ายเพราะไม่มี $ GLB (a, b) $ และ $ LUB (e, f) $

รายละเอียดอื่น ๆ มีการกล่าวถึงด้านล่าง -

ตาข่ายที่ถูกผูกไว้

ตาข่าย L จะกลายเป็นโครงตาข่ายที่มีขอบเขตถ้ามีองค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุด 1 และองค์ประกอบน้อยที่สุด 0

ตาข่ายเสริม

โครงตาข่าย L จะกลายเป็นโครงตาข่ายเสริมหากเป็นโครงตาข่ายที่มีขอบเขตและหากทุกองค์ประกอบในโครงตาข่ายมีส่วนประกอบ องค์ประกอบ x มีส่วนเติมเต็ม x 'ถ้า $ \ มีอยู่ x (x \ land x' = 0 และ x \ lor x '= 1) $