คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง - ความสัมพันธ์

เมื่อใดก็ตามที่มีการอภิปรายเกี่ยวกับเซตความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของเซตคือสิ่งต่อไปที่เกิดขึ้น Relations อาจมีอยู่ระหว่างวัตถุในชุดเดียวกันหรือระหว่างวัตถุสองชุดขึ้นไป

ความหมายและคุณสมบัติ

ความสัมพันธ์ไบนารี R จากเซต x ถึง y (เขียนเป็น $ xRy $ หรือ $ R (x, y) $) เป็นเซตย่อยของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน $ x \ times y $ หากคู่ที่สั่งซื้อของ G กลับรายการความสัมพันธ์จะเปลี่ยนไปด้วย

โดยทั่วไปแล้วความสัมพันธ์ n-ary R ระหว่างชุด $ A_1, \ dots, และ \ A_n $ เป็นส่วนย่อยของผลิตภัณฑ์ n-ary $ A_1 \ times \ dots \ times A_n $ จำนวนสมาชิกขั้นต่ำของความสัมพันธ์ R คือศูนย์และสูงสุดคือ $ n ^ 2 $ ในกรณีนี้

ความสัมพันธ์ไบนารี R บนเซตเดียว A คือเซตย่อยของ $ A \ คูณ A $

สำหรับสองชุดที่แตกต่างกัน A และ B มี cardinalities mและnตามลำดับ cardinality สูงสุดของความสัมพันธ์ R จาก A ถึง B เป็นล้าน

โดเมนและช่วง

หากมีสองชุด A และ B และความสัมพันธ์ R มีคู่คำสั่ง (x, y) แล้ว -

• domainของ R, Dom (R) คือชุด $ \ lbrace x \: | \: (x, y) \ ใน R \: สำหรับ \: some \: y \: ใน \: B \ rbrace $

• range ของ R, Ran (R) คือชุด $ \ lbrace y \: | \: (x, y) \ ใน R \: สำหรับ \: some \: x \: in \: A \ rbrace $

ตัวอย่าง

ให้ $ A = \ lbrace 1, 2, 9 \ rbrace $ และ $ B = \ lbrace 1, 3, 7 \ rbrace $

• กรณีที่ 1 - ถ้าความสัมพันธ์ R เท่ากับ 'เท่ากับ' แล้ว $ R = \ lbrace (1, 1), (3, 3) \ rbrace $

  Dom (R) = $ \ lbrace 1, 3 \ rbrace, Ran (R) = \ lbrace 1, 3 \ rbrace $

• กรณีที่ 2 - หากความสัมพันธ์ R เป็น 'น้อยกว่า' ดังนั้น $ R = \ lbrace (1, 3), (1, 7), (2, 3), (2, 7) \ rbrace $

  Dom (R) = $ \ lbrace 1, 2 \ rbrace, Ran (R) = \ lbrace 3, 7 \ rbrace $

• กรณีที่ 3 - หากความสัมพันธ์ R เป็น 'มากกว่า' ดังนั้น $ R = \ lbrace (2, 1), (9, 1), (9, 3), (9, 7) \ rbrace $

  Dom (R) = $ \ lbrace 2, 9 \ rbrace, Ran (R) = \ lbrace 1, 3, 7 \ rbrace $

การแสดงความสัมพันธ์โดยใช้กราฟ

ความสัมพันธ์สามารถแสดงโดยใช้กราฟกำกับ

จำนวนจุดยอดในกราฟเท่ากับจำนวนองค์ประกอบในเซตที่กำหนดความสัมพันธ์ สำหรับแต่ละคู่ลำดับ (x, y) ในความสัมพันธ์ R จะมีขอบกำกับจากจุดยอด 'x' ถึงจุดยอด 'y' หากมีคู่ลำดับ (x, x) จะมีการวนรอบตัวเองที่จุดยอด 'x'

สมมติว่ามีความสัมพันธ์ $ R = \ lbrace (1, 1), (1,2), (3, 2) \ rbrace $ ในชุด $ S = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace $ ก็สามารถเป็นได้ แสดงโดยกราฟต่อไปนี้ -

ประเภทของความสัมพันธ์

• Empty Relation ระหว่างชุด X และ Y หรือบน E คือชุดว่าง $ \ emptyset $

• Full Relation ระหว่างเซต X และ Y คือเซต $ X \ คูณ Y $

• Identity Relationในชุด X คือชุด $ \ lbrace (x, x) | x \ ใน X \ rbrace $

• ความสัมพันธ์ผกผัน R 'ของความสัมพันธ์ R ถูกกำหนดเป็น - $ R' = \ lbrace (b, a) | (a, b) \ ใน R \ rbrace $

  Example - ถ้า $ R = \ lbrace (1, 2), (2, 3) \ rbrace $ แล้ว $ R '$ จะเป็น $ \ lbrace (2, 1), (3, 2) \ rbrace $

• เรียกความสัมพันธ์ R บนเซต A Reflexive ถ้า $ \ forall a \ ใน A $ เกี่ยวข้องกับ (aRa hold)

  Example - ความสัมพันธ์ $ R = \ lbrace (a, a), (b, b) \ rbrace $ ใน set $ X = \ lbrace a, b \ rbrace $ คือรีเฟล็กซ์

• เรียกความสัมพันธ์ R บนเซต A Irreflexive ถ้าไม่มี $ a \ in A $ เกี่ยวข้องกับ a (aRa ไม่ถือ)

  Example - ความสัมพันธ์ $ R = \ lbrace (a, b), (b, a) \ rbrace $ ในชุด $ X = \ lbrace a, b \ rbrace $ นั้นไม่สามารถสะท้อนกลับได้

• เรียกความสัมพันธ์ R บนเซต A Symmetric ถ้า $ xRy $ หมายถึง $ yRx $, $ \ forall x \ ใน A $ และ $ \ forall y \ ใน A $

  Example - ความสัมพันธ์ $ R = \ lbrace (1, 2), (2, 1), (3, 2), (2, 3) \ rbrace $ ในชุด $ A = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace $ คือ สมมาตร.

• เรียกความสัมพันธ์ R บนเซต A Anti-Symmetric ถ้า $ xRy $ และ $ yRx $ หมายถึง $ x = y \: \ forall x \ ใน A $ และ $ \ forall y \ ใน A $

  Example - ความสัมพันธ์ $ R = \ lbrace (x, y) \ ถึง N | \: x \ leq y \ rbrace $ ต่อต้านสมมาตรเนื่องจาก $ x \ leq y $ และ $ y \ leq x $ หมายถึง $ x = y $ .

• เรียกความสัมพันธ์ R บนเซต A Transitive ถ้า $ xRy $ และ $ yRz $ หมายถึง $ xRz, \ forall x, y, z \ ใน A $

  Example - ความสัมพันธ์ $ R = \ lbrace (1, 2), (2, 3), (1, 3) \ rbrace $ ในชุด $ A = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace $ เป็นสกรรมกริยา

• ความสัมพันธ์คือไฟล์ Equivalence Relation ถ้าเป็นแบบรีเฟล็กซีฟสมมาตรและสกรรมกริยา

  Example - ความสัมพันธ์ $ R = \ lbrace (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2,1), (2,3), (3,2), (1,3), (3,1) \ rbrace $ on set $ A = \ lbrace 1, 2, 3 \ rbrace $ เป็นความสัมพันธ์ที่เทียบเท่าเนื่องจากเป็นรีเฟล็กซีฟสมมาตรและสกรรมกริยา