คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง - กฎของการอนุมาน

เพื่ออนุมานข้อความใหม่จากข้อความที่มีความจริงที่เรารู้อยู่แล้ว Rules of Inference ใช้

กฎการอนุมานมีไว้เพื่ออะไร?

ตรรกะทางคณิตศาสตร์มักใช้สำหรับการพิสูจน์เชิงตรรกะ การพิสูจน์เป็นอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องซึ่งกำหนดค่าความจริงของข้อความทางคณิตศาสตร์

อาร์กิวเมนต์คือลำดับของคำสั่ง คำสั่งสุดท้ายคือข้อสรุปและข้อความก่อนหน้าทั้งหมดเรียกว่าสถานที่ (หรือสมมติฐาน) สัญลักษณ์“ $ \ เพราะฉะนั้น $” (อ่านดังนั้น) จะถูกวางไว้ก่อนข้อสรุป อาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องคือข้อสรุปที่ตามมาจากค่าความจริงของสถานที่

กฎการอนุมานเป็นแม่แบบหรือแนวทางในการสร้างข้อโต้แย้งที่ถูกต้องจากข้อความที่เรามีอยู่แล้ว

ตารางกฎการอนุมาน

กฎการอนุมาน	ชื่อ	กฎการอนุมาน	ชื่อ
$$ \ begin {matrix} P \\ \ hline \ เพราะฉะนั้น P \ lor Q \ end {matrix} $$	ส่วนที่เพิ่มเข้าไป	$$ \ begin {matrix} P \ lor Q \\ \ lnot P \\ \ hline \ ดังนั้น Q \ end {matrix} $$	Syllogism ที่ไม่สอดคล้องกัน
$$ \ begin {matrix} P \\ Q \\ hline \ ดังนั้น P \ land Q \ end {matrix} $$	คำสันธาน	$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ hline \ ดังนั้น P \ rightarrow R \ end {matrix} $$	Syllogism สมมุติ
$$ \ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \ เพราะฉะนั้น P \ end {matrix} $$	การทำให้เข้าใจง่าย	$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ ดังนั้น Q \ lor S \ end {matrix} $$	Constructive Dilemma
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ hline \ เพราะฉะนั้น Q \ end {matrix} $$	โมดัสพอนส์	$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ เพราะฉะนั้น \ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$	Dilemma ทำลายล้าง
$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ เพราะฉะนั้น \ lnot P \ end {matrix} $$	Modus Tollens

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป

ถ้า P เป็นหลักฐานเราสามารถใช้กฎการเพิ่มเพื่อรับ $ P \ lor Q $

$$ \ begin {matrix} P \\ \ hline \ เพราะฉะนั้น P \ lor Q \ end {matrix} $$

ตัวอย่าง

ให้ P เป็นโจทย์ว่า“ เขาเรียนหนักมาก” เป็นเรื่องจริง

ดังนั้น - "ไม่ว่าเขาจะเรียนหนักมากหรือเขาเป็นนักเรียนที่แย่มาก" นี่คือโจทย์ Q“ เขาเป็นนักเรียนที่แย่มาก”

คำสันธาน

ถ้า P และ Q เป็นสองสถานที่เราสามารถใช้กฎ Conjunction เพื่อรับ $ P \ land Q $

$$ \ begin {matrix} P \\ Q \\ hline \ ดังนั้น P \ land Q \ end {matrix} $$

ตัวอย่าง

ให้ P -“ เขาเรียนหนักมาก”

ให้ถาม -“ เขาเป็นเด็กดีที่สุดในชั้นเรียน”

ดังนั้น - "เขาเรียนหนักมากและเขาเป็นเด็กที่ดีที่สุดในชั้นเรียน"

การทำให้เข้าใจง่าย

หาก $ P \ land Q $ เป็นหลักฐานเราสามารถใช้กฎการทำให้เข้าใจง่ายเพื่อรับ P

$$ \ begin {matrix} P \ land Q \\ \ hline \ เพราะฉะนั้น P \ end {matrix} $$

ตัวอย่าง

"เขาเรียนหนักมากและเขาเป็นเด็กดีที่สุดในชั้นเรียน", $ P \ land Q $

ดังนั้น - "เขาเรียนหนักมาก"

โมดัสพอนส์

ถ้า P และ $ P \ rightarrow Q $ เป็นสองสถานที่เราสามารถใช้ Modus Ponens เพื่อรับ Q

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ P \\ hline \ เพราะฉะนั้น Q \ end {matrix} $$

ตัวอย่าง

"หากคุณมีรหัสผ่านคุณสามารถเข้าสู่ระบบ facebook ได้", $ P \ rightarrow Q $

"คุณมีรหัสผ่าน", P

ดังนั้น - "คุณสามารถเข้าสู่ระบบ facebook"

Modus Tollens

ถ้า $ P \ rightarrow Q $ และ $ \ lnot Q $ เป็นสองสถานที่เราสามารถใช้ Modus Tollens เพื่อรับ $ \ l ไม่ใช่ P $

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ \ lnot Q \\ \ hline \ เพราะฉะนั้น \ lnot P \ end {matrix} $$

ตัวอย่าง

"หากคุณมีรหัสผ่านคุณสามารถเข้าสู่ระบบ facebook ได้", $ P \ rightarrow Q $

"คุณไม่สามารถเข้าสู่ระบบ facebook", $ \ lnot Q $

ดังนั้น - "คุณไม่มีรหัสผ่าน"

Syllogism ที่ไม่สอดคล้องกัน

ถ้า $ \ lnot P $ และ $ P \ lor Q $ เป็นสองสถานที่เราสามารถใช้ Disjunctive Syllogism เพื่อรับ Q

$$ \ begin {matrix} \ lnot P \\ P \ lor Q \\ \ hline \ ดังนั้น Q \ end {matrix} $$

ตัวอย่าง

"ไอศกรีมไม่ได้ปรุงรสวานิลลา", $ \ l not P $

"ไอศกรีมมีทั้งรสวานิลลาหรือรสช็อคโกแลต" $ P \ lor Q $

ดังนั้น - "ไอศกรีมรสช็อคโกแลต"

Syllogism สมมุติ

ถ้า $ P \ rightarrow Q $ และ $ Q \ rightarrow R $ เป็นสองสถานที่เราสามารถใช้ Hypothetical Syllogism เพื่อรับ $ P \ rightarrow R $

$$ \ begin {matrix} P \ rightarrow Q \\ Q \ rightarrow R \\ hline \ ดังนั้น P \ rightarrow R \ end {matrix} $$

ตัวอย่าง

"ถ้าฝนตกฉันจะไม่ไปโรงเรียน", $ P \ rightarrow Q $

"ถ้าฉันไม่ไปโรงเรียนฉันก็ไม่ต้องทำการบ้าน", $ Q \ rightarrow R $

เพราะฉะนั้น - "ถ้าฝนตกฉันไม่ต้องทำการบ้าน"

Constructive Dilemma

ถ้า $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ และ $ P \ lor R $ เป็นสองสถานที่เราสามารถใช้ประเด็นขัดแย้งเชิงสร้างสรรค์เพื่อให้ได้มาซึ่ง $ Q \ lor S $

$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ P \ lor R \\ \ hline \ ดังนั้น Q \ lor S \ end {matrix} $$

ตัวอย่าง

“ ถ้าฝนตกฉันจะลา”, $ (P \ rightarrow Q) $

“ ถ้าข้างนอกร้อนฉันจะไปอาบน้ำ”, $ (R \ rightarrow S) $

“ ฝนจะตกหรือข้างนอกร้อน”, $ P \ lor R $

ดังนั้น - "ฉันจะลาหรือฉันจะไปอาบน้ำ"

Dilemma ทำลายล้าง

ถ้า $ (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) $ และ $ \ lnot Q \ lor \ lnot S $ เป็นสองสถานที่เราสามารถใช้ภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกเพื่อให้ได้มาซึ่ง $ \ lnot P \ lor \ l ไม่ใช่ R $

$$ \ begin {matrix} (P \ rightarrow Q) \ land (R \ rightarrow S) \\ \ lnot Q \ lor \ lnot S \\ \ hline \ เพราะฉะนั้น \ lnot P \ lor \ lnot R \ end {matrix} $$

ตัวอย่าง

“ ถ้าฝนตกฉันจะลา”, $ (P \ rightarrow Q) $

“ ถ้าข้างนอกร้อนฉันจะไปอาบน้ำ”, $ (R \ rightarrow S) $

“ ไม่ว่าฉันจะไม่ลาหรือไม่ไปอาบน้ำ”, $ \ lnot Q \ lor \ lnot S $

ดังนั้น - "ทั้งที่ฝนไม่ตกหรือข้างนอกไม่ร้อน"