Digitale Rechenschaltungen
Lassen Sie uns in diesem Kapitel die grundlegenden arithmetischen Schaltungen wie Binäraddierer und Binärsubtrahierer diskutieren. Diese Schaltungen können mit Binärwerten 0 und 1 betrieben werden.
Binärer Addierer
Die grundlegendste arithmetische Operation ist die Addition. Die Schaltung, die die Addition von zwei Binärzahlen durchführt, ist bekannt alsBinary adder. Lassen Sie uns zunächst einen Addierer implementieren, der die Addition von zwei Bits durchführt.
Halber Addierer
Der Halbaddierer ist eine Kombinationsschaltung, die die Addition von zwei Binärzahlen A und B durchführt single bit. Es erzeugt zwei Ausgangssummen, S & Carry, C.
Das Truth table des Halbaddierers ist unten gezeigt.
| Eingänge | Ausgänge | ||
|---|---|---|---|
| EIN | B. | C. | S. |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Wenn wir zwei Bits addieren, kann die resultierende Summe Dezimalwerte von 0 bis 2 haben. Wir können die Dezimalstellen 0 und 1 mit einem einzelnen Bit in Binärform darstellen. Wir können jedoch keine Dezimalstelle 2 mit einem einzelnen Bit in Binärform darstellen. Wir benötigen also zwei Bits, um es binär darzustellen.
Sei, Summe, S ist das niedrigstwertige Bit und Übertrag, C ist das höchstwertige Bit der resultierenden Summe. Für die ersten drei Kombinationen von Eingängen, Übertrag, ist C Null und der Wert von S ist entweder Null oder Eins basierend auf demnumber of onesan den Eingängen vorhanden. Für die letzte Kombination von Eingaben ist Carry, C eins und sum, S ist null, da die resultierende Summe zwei ist.
Aus der Wahrheitstabelle können wir die direkt schreiben Boolean functions für jede Ausgabe als
$$ S = A \ oplus B $$
$ C = AB $
Wir können die obigen Funktionen mit einem Ex-ODER-Gatter mit 2 Eingängen und einem UND-Gatter mit 2 Eingängen implementieren. Dascircuit diagram des Halbaddierers ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
In der obigen Schaltung erzeugt ein Ex-ODER-Gatter mit zwei Eingängen und ein UND-Gatter mit zwei Eingängen jeweils die Summe S & Übertrag C. Daher führt der Halbaddierer die Addition von zwei Bits durch.
Volladdierer
Volladdierer ist eine kombinatorische Schaltung, die die addition of three bitsA, B und C in . Wobei A & B die zwei parallelen signifikanten Bits sind und C in das Übertragsbit ist, das aus der vorherigen Stufe erzeugt wird. Dieser Volladdierer erzeugt auch zwei Ausgangssummen, S & Carry, C out , die dem Halbaddierer ähnlich sind.
Das Truth table des Volladdierers ist unten gezeigt.
| Eingänge | Ausgänge | |||
|---|---|---|---|---|
| A | B | Cin | Cout | S |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Wenn wir drei Bits addieren, kann die resultierende Summe Dezimalwerte von 0 bis 3 haben. Wir können die Dezimalstellen 0 und 1 mit einem einzelnen Bit in Binärform darstellen. Wir können die Dezimalstellen 2 und 3 jedoch nicht mit einem einzelnen Bit in Binärform darstellen. Wir benötigen also zwei Bits, um diese beiden Dezimalstellen binär darzustellen.
Lassen Sie, Summe, S ist das niedrigstwertige Bit und ausführen, C out ist das höchstwertige Bit der resultierenden Summe. Es ist einfach, die Werte der Ausgaben für alle Kombinationen von Eingaben in der Wahrheitstabelle zu füllen. Zählen Sie einfach dienumber of onesan den Eingängen vorhanden und schreiben Sie die entsprechende Binärzahl an den Ausgängen. Wenn C in gleich Null ist, ist die Volladdierer-Wahrheitstabelle dieselbe wie die der Halbaddierer-Wahrheitstabelle.
Wir werden folgendes bekommen Boolean functions für jede Ausgabe nach Vereinfachung.
$$ S = A \ oplus B \ oplus C_ {in} $$
$ c_ {out} = AB + \ left (A \ oplus B \ right) c_ {in} $
Die Summe S ist gleich eins, wenn an den Eingängen eine ungerade Anzahl von Einsen vorhanden ist. Wir wissen, dass das Ex-ODER-Gatter einen Ausgang erzeugt, was eine ungerade Funktion ist. Wir können also entweder zwei Ex-ODER-Gatter mit 2 Eingängen oder ein Ex-ODER-Gatter mit 3 Eingängen verwenden, um die Summe S zu erzeugen. Wir können den Übertrag C- Ausgang mit zwei UND-Gattern mit 2 Eingängen und einem ODER-Gatter implementieren . Dascircuit diagram von Volladdierer ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Dieser Addierer heißt als Full adderDenn für die Implementierung eines Volladdierers benötigen wir zwei Halbaddierer und ein ODER-Gatter. Wenn C in Null ist, wird der Volladdierer zum Halbaddierer. Wir können dies leicht anhand des obigen Schaltplans oder anhand der Booleschen Funktionen der Ausgänge des Volladdierers überprüfen.
4-Bit-Binäraddierer
Der 4-Bit-Binäraddierer führt die addition of two 4-bit numbers. Die 4-Bit-Binärzahlen $ A = A_ {3} A_ {2} A_ {1} A_ {0} $ und $ B = B_ {3} B_ {2} B_ {1} B_ {0} $. Wir können einen 4-Bit-Binäraddierer auf eine der beiden folgenden Arten implementieren.
Verwenden Sie einen Halbaddierer für die Addition von zwei niedrigstwertigen Bits und drei Volladdierer für die Addition von drei höherwertigen Bits.
Verwenden Sie vier Volladdierer für die Einheitlichkeit. Da der anfängliche Übertrag C in Null ist, wird der Volladdierer, der zum Addieren der niedrigstwertigen Bits verwendet wird, zum Halbaddierer.
Wir haben vorerst über einen zweiten Ansatz nachgedacht. Dasblock diagram Der 4-Bit-Binäraddierer ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Hier werden die 4 Volladdierer kaskadiert. Jeder Volladdierer erhält die jeweiligen Bits von zwei parallelen Eingängen A und B. Der Übertragsausgang eines Volladdierers ist der Übertragseingang des nachfolgenden Volladdierers höherer Ordnung. Dieser 4-Bit-Binäraddierer erzeugt die resultierende Summe mit höchstens 5 Bits. Also, aus der letzten Stufe ausführen Volladdierer wird das MSB sein.
Auf diese Weise können wir jeden binären Addierer höherer Ordnung implementieren, indem wir einfach die erforderliche Anzahl von Volladdierern kaskadieren. Dieser binäre Addierer wird auch als bezeichnetripple carry (binary) adder weil sich der Übertrag von einer Stufe zur nächsten ausbreitet (Wellen).
Binärer Subtrahierer
Die Schaltung, die die Subtraktion von zwei Binärzahlen durchführt, ist bekannt als Binary subtractor. Wir können den binären Subtrahierer auf zwei Arten implementieren.
- Cascade Full Subtrahierer
- 2's Komplement Methode
Bei der ersten Methode erhalten wir einen binären n-Bit-Subtrahierer durch Kaskadierung von 'n' vollständigen Subtrahierern. Also können Sie zuerst den halben Subtrahierer und den vollen Subtrahierer implementieren, ähnlich wie beim halben Addierer und beim vollen Addierer. Anschließend können Sie einen binären n-Bit-Subtrahierer implementieren, indem Sie 'n' vollständige Subtrahierer kaskadieren. Wir werden also zwei separate Schaltkreise für die binäre Addition und Subtraktion von zwei binären Zahlen haben.
Bei der zweiten Methode können wir denselben Binäraddierer zum Subtrahieren von zwei Binärzahlen verwenden, indem wir einige Änderungen an der zweiten Eingabe vornehmen. Es findet also eine intern binäre Additionsoperation statt, aber die Ausgabe ist eine resultierende Subtraktion.
Wir wissen, dass die Subtraktion von zwei Binärzahlen A & B wie folgt geschrieben werden kann:
$$ AB = A + \ left ({2} 's \: Kompliment \: von \: B \ rechts) $$
$ \ Rightarrow AB = A + \ left ({1} 's \: Kompliment \: von \: B \ right) + 1 $
4-Bit-Binärsubtrahierer
Der 4-Bit-Binärsubtrahierer erzeugt die subtraction of two 4-bit numbers. Lassen Sie die 4-Bit-Binärzahlen $ A = A_ {3} A_ {2} A_ {1} A_ {0} $ und $ B = B_ {3} B_ {2} B_ {1} B_ {0} $. Intern ähnelt die Funktionsweise des 4-Bit-Binärsubtrahierers der des 4-Bit-Binäraddierers. Wenn die normalen Bits der Binärzahl A, die komplementierten Bits der Binärzahl B und der anfängliche Übertrag (Ausleihe) C in eins als eins auf den 4-Bit-Binäraddierer angewendet werden, wird er zum 4-Bit-Binärsubtrahierer. Dasblock diagram Der binäre 4-Bit-Subtrahierer ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Dieser binäre 4-Bit-Subtrahierer erzeugt eine Ausgabe, die höchstens 5 Bit hat. Wenn die Binärzahl A größer als die Binärzahl B ist, ist das MSB des Ausgangs Null und die verbleibenden Bits enthalten die Größe von AB. Wenn die Binärzahl A kleiner als die Binärzahl B ist, ist MSB der Ausgabe eins. Nehmen Sie also das 2er-Komplement der Ausgabe, um die Größe von AB zu erhalten.
Auf diese Weise können wir jeden binären Subtrahierer höherer Ordnung implementieren, indem wir einfach die erforderliche Anzahl von Volladdierern mit den erforderlichen Modifikationen kaskadieren.
Binärer Addierer / Subtrahierer
Die Schaltung, mit der jederzeit zwei Binärzahlen addiert oder subtrahiert werden können, ist bekannt als Binary Adder / subtractor. Sowohl der binäre Addierer als auch der binäre Subtrahierer enthalten eine Reihe von Volladdierern, die kaskadiert sind. Die Eingangsbits der Binärzahl A werden sowohl im Binäraddierer als auch im Binärsubtrahierer direkt angelegt.
Es gibt zwei Unterschiede bei den Eingaben von Volladdierern, die in Binäraddierer und Binärsubtrahierer vorhanden sind.
Die Eingabebits der Binärzahl B werden direkt auf Volladdierer im Binäraddierer angewendet, während die komplementierten Bits der Binärzahl B auf Volladdierer im Binärsubtrahierer angewendet werden.
Der anfängliche Übertrag C 0 = 0 wird im 4-Bit-Binäraddierer angewendet, während der anfängliche Übertrag (Ausleihen) C 0 = 1 im 4-Bit-Binärsubtrahierer angewendet wird.
Wir wissen, dass a 2-input Ex-OR gateerzeugt eine Ausgabe, die der ersten Eingabe entspricht, wenn die andere Eingabe Null ist. In ähnlicher Weise wird eine Ausgabe erzeugt, die eine Ergänzung der ersten Eingabe ist, wenn eine andere Eingabe eine ist.
Daher können wir die Eingangsbits der Binärzahl B auf Ex-ODER-Gatter mit 2 Eingängen anwenden. Die andere Eingabe für alle diese Ex-ODER-Gatter ist C 0 . Basierend auf dem Wert von C 0 erzeugen die Ex-OR-Gatter entweder die normalen oder die komplementierten Bits der Binärzahl B.
4-Bit-Binäraddierer / Subtrahierer
Der 4-Bit-Binäraddierer / -subtrahierer erzeugt entweder die Addition oder die Subtraktion von zwei 4-Bit-Zahlen basierend auf dem Wert des anfänglichen Übertrags oder Ausleihens 0 . Die 4-Bit-Binärzahlen $ A = A_ {3} A_ {2} A_ {1} A_ {0} $ und $ B = B_ {3} B_ {2} B_ {1} B_ {0} $. Die Funktionsweise des 4-Bit-Binäraddierers / -subtrahierers ähnelt der des 4-Bit-Binäraddierers und des 4-Bit-Binärsubtrahierers.
Wenden Sie die normalen Bits der Binärzahlen A und B und das anfängliche Übertragen oder Ausleihen von C 0 von extern auf einen 4-Bit-Binäraddierer an. Dasblock diagram Der 4-Bit-Binäraddierer / Subtrahierer ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Wenn der anfängliche Übertrag 0 Null ist, erhält jeder Volladdierer die normalen Bits der Binärzahlen A und B. Der 4-Bit-Binäraddierer / Subtrahierer erzeugt also eine Ausgabe, die die istaddition of two binary numbers A & B.
Wenn die anfängliche Ausleihe 0 eins ist, erhält jeder Volladdierer die normalen Bits der Binärzahl A und die komplementierten Bits der Binärzahl B. Der 4-Bit-Binäraddierer / Subtrahierer erzeugt also eine Ausgabe, die die istsubtraction of two binary numbers A & B.
Daher kann mit Hilfe zusätzlicher Ex-OR-Gatter dieselbe Schaltung sowohl zum Addieren als auch zum Subtrahieren von zwei Binärzahlen verwendet werden.