Digitale Schaltungen - Kanonische und Standardformulare
Wir erhalten vier boolesche Produktterme, indem wir zwei Variablen x und y mit einer logischen UND-Verknüpfung kombinieren. Diese booleschen Produktbegriffe werden als bezeichnetmin terms oder standard product terms. Die Mindestterme sind x'y ', x'y, xy' und xy.
In ähnlicher Weise erhalten wir vier Boolesche Summenausdrücke, indem wir zwei Variablen x und y mit einer logischen ODER-Verknüpfung kombinieren. Diese booleschen Summenbegriffe werden als bezeichnetMax terms oder standard sum terms. Die Max-Terme sind x + y, x + y ', x' + y und x '+ y'.
Die folgende Tabelle zeigt die Darstellung von Min-Termen und MAX-Termen für 2 Variablen.
| x | y | Mindestlaufzeiten | Max Begriffe |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x'y ' | M 0 = x + y |
| 0 | 1 | m 1 = x'y | M 1 = x + y ' |
| 1 | 0 | m 2 = xy ' | M 2 = x '+ y |
| 1 | 1 | m 3 = xy | M 3 = x '+ y' |
Wenn die binäre Variable '0' ist, wird sie als Komplement der Variablen im Min-Term und als Variable selbst im Max-Term dargestellt. Wenn die binäre Variable '1' ist, wird sie in ähnlicher Weise als Komplement der Variablen im Max-Term und als Variable selbst im Min-Term dargestellt.
Aus der obigen Tabelle können wir leicht erkennen, dass Min-Terme und Max-Terme einander ergänzen. Wenn es 'n' boolesche Variablen gibt, gibt es 2 n Min-Terme und 2 n Max-Terme.
Kanonische SoP- und PoS-Formulare
Eine Wahrheitstabelle besteht aus einer Reihe von Ein- und Ausgängen. Wenn es 'n' Eingangsvariablen gibt, gibt es 2 n mögliche Kombinationen mit Nullen und Einsen. Der Wert jeder Ausgabevariablen hängt also von der Kombination der Eingabevariablen ab. Jede Ausgabevariable hat also '1' für eine Kombination von Eingangsvariablen und '0' für eine andere Kombination von Eingangsvariablen.
Daher können wir jede Ausgabevariable auf zwei Arten ausdrücken.
- Kanonisches SoP-Formular
- Kanonisches PoS-Formular
Kanonisches SoP-Formular
Canonical SoP-Formular bedeutet Canonical Sum of Products-Formular. In dieser Form enthält jeder Produktbegriff alle Literale. Diese Produktbedingungen sind also nichts anderes als die Mindestbedingungen. Daher wird die kanonische SoP-Form auch als bezeichnetsum of min terms bilden.
Identifizieren Sie zuerst die min-Terme, für die die Ausgabevariable eins ist, und führen Sie dann das logische ODER dieser min-Terme aus, um den dieser Ausgabevariablen entsprechenden Booleschen Ausdruck (Funktion) zu erhalten. Diese Boolesche Funktion hat die Form einer Summe von Min-Termen.
Gehen Sie genauso für andere Ausgabevariablen vor, wenn mehr als eine Ausgabevariable vorhanden ist.
Beispiel
Folgendes berücksichtigen truth table.
| Eingänge | Ausgabe | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Hier ist der Ausgang (f) für vier Kombinationen von Eingängen '1'. Die entsprechenden Min-Terme sind p'qr, pq'r, pqr ', pqr. Durch logisches ODER dieser vier Min-Terme erhalten wir die Boolesche Funktion der Ausgabe (f).
Daher ist die Boolesche Funktion der Ausgabe f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr. Dies ist dascanonical SoP formder Ausgabe, f. Wir können diese Funktion auch in den folgenden zwei Notationen darstellen.
$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$
$$ f = \ sum m \ left (3,5,6,7 \ right) $$
In einer Gleichung haben wir die Funktion als Summe der jeweiligen Min-Terme dargestellt. In einer anderen Gleichung haben wir das Symbol zur Summierung dieser minimalen Terme verwendet.
Kanonisches PoS-Formular
Canonical PoS Form bedeutet Canonical Product of Sums Form. In dieser Form enthält jeder Summenbegriff alle Literale. Diese Summenbegriffe sind also nichts anderes als die Max-Begriffe. Daher wird die kanonische PoS-Form auch als bezeichnetproduct of Max terms bilden.
Identifizieren Sie zuerst die Max-Terme, für die die Ausgabevariable Null ist, und führen Sie dann das logische UND dieser Max-Terme aus, um den Booleschen Ausdruck (Funktion) zu erhalten, der dieser Ausgabevariablen entspricht. Diese Boolesche Funktion wird in Form eines Produkts von Max-Begriffen vorliegen.
Gehen Sie genauso für andere Ausgabevariablen vor, wenn mehr als eine Ausgabevariable vorhanden ist.
Example
Betrachten Sie die gleiche Wahrheitstabelle wie im vorherigen Beispiel. Hier ist der Ausgang (f) für vier Kombinationen von Eingängen '0'. Die entsprechenden Max-Terme sind p + q + r, p + q + r ', p + q' + r, p '+ q + r. Durch logisches UND dieser vier Max-Terme erhalten wir die Boolesche Funktion der Ausgabe (f).
Daher ist die Boolesche Funktion der Ausgabe f = (p + q + r) (p + q + r ') (p + q' + r) (p '+ q + r). Dies ist dascanonical PoS formder Ausgabe, f. Wir können diese Funktion auch in den folgenden zwei Notationen darstellen.
$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$
$$ f = \ prod M \ left (0,1,2,4 \ right) $$
In einer Gleichung haben wir die Funktion als Produkt der jeweiligen Max-Terme dargestellt. In einer anderen Gleichung haben wir das Symbol zur Multiplikation dieser Max-Terme verwendet.
Die Boolesche Funktion f = (p + q + r) (p + q + r ') (p + q' + r) (p '+ q + r) ist das Dual der Booleschen Funktion f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr.
Daher sind sowohl kanonische SoP- als auch kanonische PoS-Formen Dualzueinander. Funktionell sind diese beiden Formen gleich. Je nach Anforderung können wir eine dieser beiden Formen verwenden.
Standard SoP- und PoS-Formulare
Wir haben zwei kanonische Formen der Darstellung der Booleschen Ausgabe (n) diskutiert. In ähnlicher Weise gibt es zwei Standardformen für die Darstellung der Booleschen Ausgabe (n). Dies ist die vereinfachte Version kanonischer Formen.
- Standard-SoP-Formular
- Standard-PoS-Formular
Wir werden in späteren Kapiteln über Logikgatter diskutieren. Die HauptadvantageBei Standardformen kann die Anzahl der an Logikgatter angelegten Eingänge minimiert werden. Manchmal wird die Gesamtzahl der erforderlichen Logikgatter reduziert.
Standard-SoP-Formular
Standard SoP Form bedeutet Standard Sum of Productsbilden. In dieser Form muss jeder Produktbegriff nicht alle Literale enthalten. Die Produktbedingungen können also die Mindestbedingungen sein oder auch nicht. Daher ist das Standard-SoP-Formular die vereinfachte Form des kanonischen SoP-Formulars.
Wir erhalten die Standard-SoP-Form der Ausgabevariablen in zwei Schritten.
- Holen Sie sich die kanonische SoP-Form der Ausgabevariablen
- Vereinfachen Sie die obige Boolesche Funktion, die in kanonischer SoP-Form vorliegt.
Gehen Sie genauso für andere Ausgabevariablen vor, wenn mehr als eine Ausgabevariable vorhanden ist. Manchmal ist es möglicherweise nicht möglich, das kanonische SoP-Formular zu vereinfachen. In diesem Fall sind sowohl kanonische als auch Standard-SoP-Formen gleich.
Example
Konvertieren Sie die folgende Boolesche Funktion in das Standard-SoP-Formular.
f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr
Die angegebene Boolesche Funktion liegt in kanonischer SoP-Form vor. Jetzt müssen wir diese Boolesche Funktion vereinfachen, um das Standard-SoP-Formular zu erhalten.
Step 1 - Verwenden Sie die Boolean postulate, x + x = x. Das heißt, die logische ODER-Verknüpfung mit einer beliebigen Booleschen Variablen 'n' ist gleich derselben Variablen. Wir können also den letzten Term pqr noch zweimal schreiben.
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr '+ pqr + pqr + pqr
Step 2 - Verwenden Distributive lawfür 1 st und 4 - ten Terms, 2 nd und 5 - ten Terms, 3 rd und 6 th Begriffe.
⇒ f = qr (p '+ p) + pr (q' + q) + pq (r '+ r)
Step 3 − Use Boolean postulate, x + x’ = 1 for simplifying the terms present in each parenthesis.
⇒ f = qr(1) + pr(1) + pq(1)
Step 4 − Use Boolean postulate, x.1 = x for simplifying above three terms.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
This is the simplified Boolean function. Therefore, the standard SoP form corresponding to given canonical SoP form is f = pq + qr + pr
Standard PoS form
Standard PoS form means Standard Product of Sums form. In this form, each sum term need not contain all literals. So, the sum terms may or may not be the Max terms. Therefore, the Standard PoS form is the simplified form of canonical PoS form.
We will get Standard PoS form of output variable in two steps.
- Get the canonical PoS form of output variable
- Simplify the above Boolean function, which is in canonical PoS form.
Follow the same procedure for other output variables also, if there is more than one output variable. Sometimes, it may not possible to simplify the canonical PoS form. In that case, both canonical and standard PoS forms are same.
Example
Convert the following Boolean function into Standard PoS form.
f = (p + q + r).(p + q + r’).(p + q’ + r).(p’ + q + r)
The given Boolean function is in canonical PoS form. Now, we have to simplify this Boolean function in order to get standard PoS form.
Step 1 − Use the Boolean postulate, x.x = x. That means, the Logical AND operation with any Boolean variable ‘n’ times will be equal to the same variable. So, we can write the first term p+q+r two more times.
⇒ f = (p + q + r).(p + q + r).(p + q + r).(p + q + r’).(p +q’ + r).(p’ + q + r)
Step 2 − Use Distributive law, x + (y.z) = (x + y).(x + z) for 1st and 4th parenthesis, 2nd and 5th parenthesis, 3rd and 6th parenthesis.
⇒ f = (p + q + rr’).(p + r + qq’).(q + r + pp’)
Step 3 − Use Boolean postulate, x.x’=0 for simplifying the terms present in each parenthesis.
⇒ f = (p + q + 0).(p + r + 0).(q + r + 0)
Step 4 − Use Boolean postulate, x + 0 = x for simplifying the terms present in each parenthesis
⇒ f = (p + q).(p + r).(q + r)
⇒ f = (p + q).(q + r).(p + r)
This is the simplified Boolean function. Therefore, the standard PoS form corresponding to given canonical PoS form is f = (p + q).(q + r).(p + r). This is the dual of the Boolean function, f = pq + qr + pr.
Therefore, both Standard SoP and Standard PoS forms are Dual to each other.