Digitale Schaltungen - Basisumwandlungen

Im vorigen Kapitel haben wir die vier wichtigsten Zahlensysteme gesehen. In diesem Kapitel konvertieren wir die Zahlen von einem Zahlensystem in das andere, um den entsprechenden Wert zu finden.

Umwandlung von Dezimalzahlen in andere Basen

Wenn die Dezimalzahl sowohl einen ganzzahligen als auch einen gebrochenen Teil enthält, konvertieren Sie beide Teile der Dezimalzahl einzeln in eine andere Basis. Befolgen Sie diese Schritte, um die Dezimalzahl in die entsprechende Zahl einer beliebigen Basis 'r' umzuwandeln.

Tun division des ganzzahligen Teils der Dezimalzahl und successive quotientsmit der Basis 'r' und notiere die Reste, bis der Quotient Null ist. Betrachten Sie die Reste in umgekehrter Reihenfolge, um den ganzzahligen Teil der äquivalenten Anzahl der Basis 'r' zu erhalten. Das heißt, der erste und der letzte Rest bezeichnen die niedrigstwertige bzw. die höchstwertige Ziffer.
Tun multiplication des Bruchteils der Dezimalzahl und successive fractionsmit der Basis 'r' und notieren Sie den Übertrag, bis das Ergebnis Null ist oder die gewünschte Anzahl äquivalenter Ziffern erhalten wird. Betrachten Sie die normale Folge des Übertrags, um den Bruchteil der äquivalenten Anzahl der Basis 'r' zu erhalten.

Konvertierung von Dezimal zu Binär

Die folgenden zwei Arten von Operationen finden statt, während die Dezimalzahl in ihre äquivalente Binärzahl umgewandelt wird.

Division des ganzzahligen Teils und aufeinanderfolgender Quotienten mit Basis 2.
Multiplikation von Bruchteilen und aufeinanderfolgenden Brüchen mit Basis 2.

Example

Bedenke die decimal number 58.25. Hier ist der ganzzahlige Teil 58 und der gebrochene Teil 0,25.

Step 1 - Division von 58 und aufeinanderfolgenden Quotienten mit Basis 2.

Operation	Quotient	Rest
58/2	29	0 (LSB)
29/2	14	1
14/2	7	0
7/2	3	1
3/2	1	1
1/2	0	1(MSB)

⇒ (58) ₁₀ = (111010) ₂

deshalb, die integer part der äquivalenten Binärzahl ist 111010.

Step 2 - Multiplikation von 0,25 und aufeinanderfolgenden Fraktionen mit Basis 2.

Operation	Ergebnis	Tragen
0,25 x 2	0,5	0
0,5 x 2	1.0	1
- -	0.0	- -

⇒ (.25) ₁₀ = (.01) ₂

deshalb, die fractional part der äquivalenten Binärzahl ist .01

⇒ (58,25) ₁₀ = (111010,01) ₂

deshalb, die binary equivalent der Dezimalzahl 58,25 ist 111010,01.

Umwandlung von Dezimal in Oktal

Die folgenden zwei Arten von Operationen finden statt, während die Dezimalzahl in ihre äquivalente Oktalzahl umgewandelt wird.

Division des ganzzahligen Teils und aufeinanderfolgender Quotienten mit Basis 8.
Multiplikation von Bruchteilen und aufeinanderfolgenden Brüchen mit der Basis 8.

Example

Bedenke die decimal number 58.25. Hier ist der ganzzahlige Teil 58 und der gebrochene Teil 0,25.

Step 1 - Division von 58 und aufeinanderfolgenden Quotienten mit Basis 8.

Operation	Quotient	Rest
58/8	7	2
7/8	0	7

⇒ (58) ₁₀ = (72) ₈

deshalb, die integer part der äquivalenten Oktalzahl ist 72.

Step 2 - Multiplikation von 0,25 und aufeinanderfolgenden Fraktionen mit Basis 8.

Operation	Ergebnis	Tragen
0,25 x 8	2.00	2
- -	0,00	- -

⇒ (.25) ₁₀ = (.2) ₈

deshalb, die fractional part der äquivalenten Oktalzahl ist .2

⇒ (58,25) ₁₀ = (72,2) ₈

deshalb, die octal equivalent der Dezimalzahl 58,25 ist 72,2.

Umwandlung von Dezimal in Hexa-Dezimal

Die folgenden zwei Arten von Operationen finden statt, während die Dezimalzahl in ihre äquivalente Hexadezimalzahl umgewandelt wird.

Division von ganzzahligem Teil und aufeinanderfolgenden Quotienten mit Basis 16.
Multiplikation von Bruchteilen und aufeinanderfolgenden Brüchen mit der Basis 16.

Example

Bedenke die decimal number 58.25. Hier ist der ganzzahlige Teil 58 und der dezimale Teil 0,25.

Step 1 - Division von 58 und aufeinanderfolgenden Quotienten mit Basis 16.

Operation	Quotient	Rest
58/16	3	10 = A.
3/16	0	3

⇒ (58) ₁₀ = (3A) ₁₆

deshalb, die integer part der äquivalenten Hexa-Dezimalzahl ist 3A.

Step 2 - Multiplikation von 0,25 und aufeinanderfolgenden Fraktionen mit der Basis 16.

Operation	Ergebnis	Tragen
0,25 x 16	4.00	4
- -	0,00	- -

⇒ (.25) ₁₀ = (.4) ₁₆

deshalb, die fractional part der äquivalenten Hexa-Dezimalzahl ist .4.

⇒(58.25)₁₀ = (3A.4)₁₆

deshalb, die Hexa-decimal equivalent der Dezimalzahl 58,25 ist 3A.4.

Umwandlung von Binärzahlen in andere Basen

Der Prozess der Konvertierung einer Zahl von binär in dezimal unterscheidet sich vom Prozess der Konvertierung einer Binärzahl in andere Basen. Lassen Sie uns nun die Umwandlung einer Binärzahl in Dezimal-, Oktal- und Hexa-Dezimalzahlensysteme nacheinander diskutieren.

Binär-Dezimal-Konvertierung

Um eine Binärzahl in ihre äquivalente Dezimalzahl umzuwandeln, multiplizieren Sie zuerst die Bits der Binärzahl mit den jeweiligen Positionsgewichten und addieren Sie dann alle diese Produkte.

Example

Bedenke die binary number 1101.11.

Mathematicallykönnen wir es schreiben als

(1101,11) ₂ = (1 × 2 ³ ) + (1 × 2 ² ) + (0 × 2 ¹ ) + (1 × 2 ⁰ ) + (1 × 2 ^-1 ) +

(1 × 2 ^–2 )

⇒ (1101,11) ₂ = 8 + 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 13,75

⇒ (1101,11) ₂ = (13,75) ₁₀

deshalb, die decimal equivalent der Binärzahl 1101.11 ist 13.75.

Umwandlung von Binär zu Oktal

Wir wissen, dass die Basis von Binär- und Oktalzahlensystemen 2 bzw. 8 ist. Drei Bits einer Binärzahl entsprechen einer Oktalstelle, da 2 ³ = 8 ist.

Befolgen Sie diese beiden Schritte, um eine Binärzahl in ihre entsprechende Oktalzahl umzuwandeln.

Beginnen Sie am Binärpunkt und bilden Sie die Gruppen von 3 Bits auf beiden Seiten des Binärpunkts. Wenn ein oder zwei Bits kleiner sind, während die Gruppe von 3 Bits gebildet wird, schließen Sie die erforderliche Anzahl von Nullen an extremen Seiten ein.
Schreiben Sie die Oktalziffern für jede Gruppe von 3 Bits.

Example

Bedenke die binary number 101110.01101.

Step 1 - Bilden Sie die Gruppen von 3 Bits auf beiden Seiten des Binärpunkts.

101 110.011 01

Hier auf der rechten Seite des Binärpunkts hat die letzte Gruppe nur 2 Bits. Fügen Sie also eine Null auf der äußersten Seite ein, um sie als Gruppe von 3 Bits zu bilden.

⇒ 101 110.011 010

Step 2 - Schreiben Sie die Oktalziffern für jede Gruppe von 3 Bits.

⇒ (101 110.011 010) ₂ = (56.32) ₈

deshalb, die octal equivalent der Binärzahl 101110.01101 ist 56,32.

Umwandlung von Binär in Hexa-Dezimal

Wir wissen, dass die Basis von Binär- und Hexa-Dezimalzahlensystemen 2 bzw. 16 ist. Vier Bits einer Binärzahl entsprechen einer Hexa-Dezimalstelle, da 2 ⁴ = 16 ist.

Befolgen Sie diese beiden Schritte, um eine Binärzahl in ihre entsprechende Hexa-Dezimalzahl umzuwandeln.

Beginnen Sie am Binärpunkt und bilden Sie die Gruppen von 4 Bits auf beiden Seiten des Binärpunkts. Wenn einige Bits kleiner sind, während die Gruppe von 4 Bits gebildet wird, geben Sie die erforderliche Anzahl von Nullen an den extremen Seiten an.
Schreiben Sie die Hexa-Dezimalstellen, die jeder Gruppe von 4 Bits entsprechen.

Example

Bedenke die binary number 101110.01101

Step 1 - Bilden Sie die Gruppen von 4 Bits auf beiden Seiten des Binärpunkts.

10 1110.0110 1

Hier hat die erste Gruppe nur 2 Bits. Fügen Sie also zwei Nullen auf der äußersten Seite ein, um sie als Gruppe von 4 Bits zu bilden. Fügen Sie in ähnlicher Weise drei Nullen auf der äußersten Seite ein, um die letzte Gruppe auch als Gruppe von 4 Bits zu bilden.

⇒ 0010 1110.0110 1000

Step 2 - Schreiben Sie die hexadezimalen Ziffern für jede Gruppe von 4 Bits.

⇒ (0010 1110.0110 1000) ₂ = (2E.68) ₁₆

deshalb, die Hexa-decimal equivalent der Binärzahl 101110.01101 ist (2E.68).

Umwandlung von Oktalzahlen in andere Basen

Das Konvertieren einer Zahl von Oktal in Dezimal unterscheidet sich vom Konvertieren einer Oktalzahl in andere Basen. Lassen Sie uns nun die Umwandlung einer Oktalzahl in Dezimal-, Binär- und Hexa-Dezimalzahlensysteme nacheinander diskutieren.

Konvertierung von Oktal zu Dezimal

Um eine Oktalzahl in ihre äquivalente Dezimalzahl umzuwandeln, multiplizieren Sie zuerst die Ziffern der Oktalzahl mit den jeweiligen Positionsgewichten und addieren Sie dann alle diese Produkte.

Example

Bedenke die octal number 145.23.

Mathematicallykönnen wir es schreiben als

(145,23) ₈ = (1 × 8 ² ) + (4 × 8 ¹ ) + (5 × 8 ⁰ ) + (2 × 8 ^-1 ) + (3 × 8 ^-2 )

⇒ (145,23) ₈ = 64 + 32 + 5 + 0,25 + 0,05 = 101,3

⇒ (145,23) ₈ = (101,3) ₁₀

deshalb, die decimal equivalent der Oktalzahl 145,23 ist 101,3.

Konvertierung von Oktal zu Binär

Der Prozess der Konvertierung einer Oktalzahl in eine äquivalente Binärzahl ist genau entgegengesetzt zu dem der Konvertierung von Binärzahl in Oktalzahl. Indem wir jede Oktalstelle mit 3 Bits darstellen, erhalten wir die entsprechende Binärzahl.

Example

Bedenke die octal number 145.23.

Stellen Sie jede Oktalstelle mit 3 Bits dar.

(145,23) ₈ = (001 100 101,010 011) ₂

Der Wert ändert sich nicht, indem die Nullen entfernt werden, die sich auf der äußersten Seite befinden.

⇒ (145,23) ₈ = (1100101.010011) ₂

deshalb, die binary equivalent der Oktalzahl 145,23 ist 1100101.010011.

Konvertierung von Oktal in Hexa-Dezimal

Befolgen Sie diese beiden Schritte, um eine Oktalzahl in ihre entsprechende Hexa-Dezimalzahl umzuwandeln.

Konvertieren Sie die Oktalzahl in die entsprechende Binärzahl.
Konvertieren Sie die obige Binärzahl in die entsprechende Hexa-Dezimalzahl.

Example

Bedenke die octal number 145.23

Im vorherigen Beispiel haben wir das binäre Äquivalent der Oktalzahl 145.23 als 1100101.010011 erhalten.

Wenn Sie die Prozedur der Konvertierung von Binär in Hexa-Dezimal befolgen, erhalten Sie

(1100101.010011) ₂ = (65.4C) 16

⇒ (145,23) ₈ = (65,4C) ₁₆

deshalb, die Hexa-decimal equivalent145.23 von Octalzahl 65,4 C .

Umwandlung von Hexa-Dezimalzahlen in andere Basen

Der Prozess der Konvertierung einer Zahl von Hexa-Dezimal in Dezimal unterscheidet sich vom Prozess der Konvertierung von Hexa-Dezimalzahlen in andere Basen. Lassen Sie uns nun die Umwandlung von Hexa-Dezimalzahlen in Dezimal-, Binär- und Oktalzahlensysteme nacheinander diskutieren.

Hexa-Dezimal-Dezimal-Konvertierung

Um die Hexa-Dezimalzahl in ihre äquivalente Dezimalzahl umzuwandeln, multiplizieren Sie zuerst die Ziffern der Hexa-Dezimalzahl mit den jeweiligen Positionsgewichten und addieren Sie dann alle diese Produkte.

Example

Bedenke die Hexa-decimal number 1A5.2

Mathematicallykönnen wir es schreiben als

(1A5.2) ₁₆ = (1 × 16 ² ) + (10 × 16 ¹ ) + (5 × 16 ⁰ ) + (2 × 16 ^-1 )

⇒ (1A5.2) ₁₆ = 256 + 160 + 5 + 0,125 = 421,125

⇒ (1A5.2) ₁₆ = (421.125) ₁₀

deshalb, die decimal equivalent der Hexa-Dezimalzahl 1A5.2 ist 421.125.

Hexa-Dezimal-Binär-Konvertierung

Der Prozess der Konvertierung der Hexa-Dezimalzahl in ihre äquivalente Binärzahl ist genau entgegengesetzt zu dem der Konvertierung von Binär in Hexa-Dezimalzahl. Durch die Darstellung jeder Hexa-Dezimalstelle mit 4 Bits erhalten wir die entsprechende Binärzahl.

Example

Bedenke die Hexa-decimal number 65.4C

Stellen Sie jede Hexadezimalstelle mit 4 Bits dar.

(65,4C) ₆ = (0110 0101.0100 1100) ₂

Der Wert ändert sich nicht, indem die Nullen entfernt werden, die sich an zwei extremen Seiten befinden.

⇒ (65.4C) ₁₆ = (1100101.010011) ₂

deshalb, die binary equivalent der Hexa-Dezimalzahl 65.4C ist 1100101.010011.