एप्टीट्यूड - ज्यामिति

बिंदु

एक बिंदु एक सटीक स्थान है

रेखा खंड

दो बिंदुओं ए और बी के बीच के सीधे रास्ते को लाइन सेगमेंट एबी कहा जाता है। एक पंक्ति खंड में दो अंत बिंदु होते हैं।

रे

एक पंक्ति खंड AB को अनिश्चित काल तक एक दिशा में विस्तारित करने पर हमें किरण AB मिलता है। रे एबी का एक छोर है, जिसका नाम ए है।

लाइन

एक रेखा खंड AB दोनों दिशाओं में अनिश्चित काल तक विस्तारित होता है जिसे रेखा AB कहा जाता है।

1. एक पंक्ति में असीम रूप से कई बिंदु होते हैं।

2. एक दिए गए बिंदुओं के माध्यम से, infinitaly कई रेखाएं खींची जा सकती हैं।

3. एक और केवल एक लाइन को दो दिए गए बिंदुओं ए और बी से गुजरने के लिए तैयार किया जा सकता है।

4. एक बिंदु में दो लाइन मिलते हैं।

5. दो प्लेन एक लाइन में मिलते हैं।

समरेख

दिए गए आंकड़े में, ए, बी, सी अंक टकराने हैं।

समवर्ती रेखाएँ

एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली तीन या अधिक रेखाओं को समवर्ती रेखाएं कहा जाता है।

कोण

दो किरणों OA और OB में एक सामान्य अंत बिंदु O फॉर्म कोण AOB होता है, जिसे .AOB के रूप में लिखा जाता है

एक कोण का माप

OA से OB की ओर मोड़ने की मात्रा को OBAOB के रूप में लिखा जाता है जिसे m (∠AOB) कहा जाता है।

360 ° का कोण

यदि एक किरण OA अपनी मूल स्थिति OA से शुरू होती है, तो O के बारे में एंटीक्लॉकवाइज़ दिशा में घूमती है और एक पूर्ण रोटेशन के बाद अपनी मूल स्थिति में वापस आती है, तो हम कहते हैं कि यह 360 के माध्यम से घूम चुकी है। यह पूर्ण रोटेशन 360 ° बराबर भागों में विभाजित है। फिर, प्रत्येक भाग को 1 डिग्री कहा जाता है, जिसे 1 ° लिखा जाता है

1 ° = 60 मिनट, जिसे 60 लिखा गया है '

1 मिनट = 60 सेकंड, 60 के रूप में लिखा "

कोण के प्रकार

1. Right angle - ऐसा कोण जिसका माप 90 ° है, समकोण कहलाता है।

2. Acute angle - ऐसा कोण जिसका माप 90 ° से कम हो, तीव्र कोण कहलाता है।

3. Obtuse angle - ऐसा कोण जिसका माप 90 ° से अधिक लेकिन 180 ° से कम होता है, इसे एक कोण कोण कहा जाता है।

4. Straight angle - ऐसा कोण जिसका माप 180 ° है, एक सीधा कोण कहलाता है।

5. Reflex angle - ऐसा कोण जिसका माप 180 ° से अधिक लेकिन 360 ° से कम हो, उसे प्रतिवर्त कोण कहा जाता है।

6. Complete angle - ऐसा कोण जिसका माप 360 ° है, पूर्ण कोण कहलाता है।

7. Equal angle - दो कोणों को समान कहा जाता है, अगर उनके पास समान माप हो।

8. Complementary angleदो कोणों को पूरक कहा जाता है यदि उनके उपायों का योग 90 है। उदाहरण के लिए, 65 ° और 25 ° मापने वाले कोण पूरक कोण हैं।

9. Supplementary angle- दो कोणों को पूरक कहा जाता है यदि उनके उपायों का योग 180 ° है। उदाहरण के लिए, कोणों का माप 70 ° और 110 ° का पूरक है।

10. Adjacent angle- दो कोणों को आसन्न कोण कहा जाता है यदि उनके पास एक ही शीर्ष और एक सामान्य हाथ है जैसे कि गैर-सामान्य हथियार कॉमन आर्म के दोनों ओर हैं। दिए गए आंकड़े में, OCAOC और areBOC समीपवर्ती कोण हैं।

    

महत्वपूर्ण परिणाम

यदि किरण एक रेखा पर है, तो दो समीपवर्ती कोणों के योग की तुलना में 180 ° है, दिए गए चित्र में, किरण CP रेखा AB पर स्थित है।

∴ ∠ACD + ∠BCD = 180°.

लाइन पर दिए गए बिंदु पर एक रेखा के एक ही तरफ बनने वाले सभी कोणों का योग 180 ° है। दिए गए आंकड़े में एओबी के एक ही तरफ चार कोण बनाए जाते हैं।

∴ ∠AOE + ∠EOD + ∠DOC + ∠COD = 180°.

एक बिंदु के चारों ओर सभी कोणों का योग 360 ° है। दिए गए आंकड़े में एक बिंदु O के चारों ओर पाँच कोण बने हैं।

∴∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOA=360°.

ऊर्ध्वाधर रूप से कोणों के विपरीत

यदि दो रेखा A बैंड CD एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती है, तो AOC, BOD और BOC, AOD दो जोड़ी खड़ी विपरीत कोण हैं ऊर्ध्वाधर रूप से विपरीत कोण हमेशा बराबर होते हैं।

∴ ∠AOC = ∠BOD and ∠AOD = ∠BOC

समानांतर रेखाएं

यदि दो रेखाएँ एक ही समतल में स्थित हों और दोनों ओर निर्मित होने पर प्रतिच्छेद न करें तो ऐसी रेखाएँ समान कहलाती हैं और हम लिखते हैं, L. m

ट्रैवर्सल लाइन समानांतर रेखाओं को काटती है

दो समानांतर रेखाओं AB और CD को एक ट्रांसवर्सल EF द्वारा काट दिया जाए। फिर

अनुरूप कोण समान हैं

(∠1 = ∠5), (∠4= ∠8 ), (∠2 = ∠6) , (∠3 = ∠7)

वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर हैं।

(∠3 =∠5 )  and  (∠4 =∠6 )

आंतरिक आंतरिक कोण पूरक हैं

∠4+∠5 = 180° and ∠3 +∠6 = 180°.

त्रिकोण

तीन सीधी रेखाओं से बंधी आकृति को त्रिभुज कहा जाता है। दिए गए आंकड़े में, हमारे पास weABC है; ∆ABC में तीन कोने होते हैं A, B, C। इसमें तीन कोण हैं, अर्थात् ,A, ,B और .C। इसके तीन पक्ष हैं, अर्थात् AB, AC और BC।

त्रिभुज के प्रकार

1. एक त्रिभुज जिसमें सभी भुजाएँ समान हों, समबाहु त्रिभुज कहलाता है।

2. एक त्रिकोण जिसमें दो भुजाएँ समान होती हैं, समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है।

3. एक त्रिभुज जिसमें विभिन्न लंबाई के सभी भुजाएँ होती हैं, इसे एक परिधीय त्रिभुज कहा जाता है।

4. एक त्रिभुज जिसका कोण 90 ° मापता है, एक समकोण त्रिभुज कहलाता है।

5. एक त्रिभुज जिसका कोण 90 ° और 180 ° के बीच स्थित होता है, एक प्रसारक त्रिभुज कहलाता है।

6. एक त्रिकोण जिसका प्रत्येक कोण तीव्र होता है, एक तीव्र त्रिकोण कहलाता है।

7. त्रिभुज के सभी पक्षों के योग को त्रिभुज की परिधि कहा जाता है।

8. त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक है।

9. एक समकोण एबीसी जिसमें =B = 90 ° है, हमारे पास AC ² = AB ² + BC ^{2 है} । इसे पाइथागोरस प्रमेय कहा जाता है।

चतुष्कोष

चार सीधी रेखा से बंधी आकृति को चतुर्भुज कहा जाता है। चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360 ° है।

1. Rectangle- एक चतुर्भुज को एक आयत कहा जाता है, यदि इसका विपरीत पक्ष समान है और इसका प्रत्येक कोण 90 ° है। दिए गए अंजीर में। ABCD एक आयत है।

   

2. Square- एक चतुर्भुज को एक वर्ग कहा जाता है, यदि इसके सभी पक्ष समान हैं और इसके प्रत्येक कोण का माप 90 ° है। दिए गए अंजीर में। ABCD वह वर्ग है जिसमें AB = BC = CD = DA है।

   

3. Parallelogram- एक चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज कहा जाता है, यदि इसके विपरीत पक्ष समानांतर होते हैं। दिए गए अंजीर में। ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें AB = DC & AD = BC है।

   

4. Rhombus- एक समांतर चतुर्भुज जिसके सभी भुजाएँ समान होती हैं, एक समभुज कहलाता है। दिए गए अंजीर में। ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें AB = BC = CD = DA, AB || डीसी और एडी || ईसा पूर्व।

   

महत्वपूर्ण तथ्य

1. एक चतुर्भुज एक आयत है यदि विपरीत भुजाएँ समान हैं और इसके विकर्ण बराबर हैं।

2. एक चतुर्भुज एक वर्ग है यदि सभी पक्ष समान हैं और विकर्ण समान हैं।

3. एक चतुर्भुज एक समानांतर चतुर्भुज है, यदि विपरीत पक्ष समान हैं।

4. एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, लेकिन एक आयत नहीं है, यदि विपरीत पक्ष समान हैं लेकिन विकर्ण समान नहीं हैं।

5. एक चतुर्भुज एक समभुज है, लेकिन एक वर्ग नहीं है यदि उनके सभी पक्ष समान हैं और विकर्ण समान नहीं हैं।

चतुर्भुज पर परिणाम

1. एक समांतर चतुर्भुज में, हमारे पास है

   1. विपरीत पक्ष समान हैं।

   2. विपरीत कोण समान हैं।

   3. प्रत्येक विकर्ण समांतर चतुर्भुज को काटता है।

   4. एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को काटते हैं।

2. एक आयत के विकर्ण बराबर हैं।

3. एक समभुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर काटते हैं।

सर्कल पर परिणाम

1. केंद्र से एक जीवा तक लंबवत जीवा को काटता है।

2. तीन नॉन कोलिनियर पॉइंट्स से गुजरने वाला एक और केवल एक सर्कल है।

3. सेमी सर्कल में कोण एक समकोण है।

4. चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोण पूरक हैं।

5. वृत्त के समान खंड में कोण बराबर होता है।

6. संपर्क के बिंदु से वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा त्रिज्या के लंबवत है।

7. एक बिंदु से एक वृत्त के बाहर दो स्पर्शरेखा समान हैं।

8. यदि PT एक वृत्त का स्पर्शरेखा है और PAB एक धर्मनिरपेक्ष है, तो PA x PB = PT ^{2 है}

हल के उदाहरण

हल के उदाहरण