एप्टीट्यूड - संख्या प्रणाली

नंबर

दशमलव संख्या प्रणाली में, दस प्रतीक होते हैं जिनका नाम 0,1,2,3,4,5,6,7,8 और 9 अंक होता है। इन अंकों के समूह द्वारा एक संख्या को निरूपित किया जाता है जिसे अंक कहा जाता है।

अंकित मूल्य

किसी अंक में किसी अंक का अंकित मूल्य ही अंक का मूल्य होता है। उदाहरण के लिए 321 में, 1 का अंकित मूल्य 1 है, 2 का अंकित मूल्य 2 है और 3 का अंकित मूल्य 3 है।

जगह कीमत

एक अंक में एक अंक का मूल्य 10 से गुणा ^{n के} अंक का मूल्य है जहां n 0. से शुरू होता है। उदाहरण के लिए 321 में:

• 1 = 1 x 10 ⁰ = 1 x 1 = 1 का मान रखें

• 2 = 2 x 10 ¹ = 2 x 10 = 20 का स्थान मान

• 3 = 3 x 10 ² = 3 x 100 = 300 का मान रखें

0 ^वीं स्थिति अंक को इकाई अंक कहा जाता है और अभिरुचि परीक्षणों में सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला विषय है।

संख्याओं के प्रकार

1. Natural Numbers- n> 0 जहां n गिनती संख्या है; [1,2,3 ...]

2. Whole Numbers- n ≥ 0 जहां n गिनती संख्या है; [0,1,2,3 ...]।

0 केवल संपूर्ण संख्या है जो एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।

हर प्राकृतिक संख्या एक पूर्ण संख्या है।

3. Integers - n counting 0 या n where 0 जहाँ n गिनती संख्या है; ... - - 3, -2, -1,0,1,2,3 ... पूर्णांक है।

   • Positive Integers- एन> 0; [1,2,3 ...]

   • Negative Integers- एन <0; [-1, -2, -3 ...]

   • Non-Positive Integers- एन ≤ 0; [0, -1, -2, -3 ...]

   • Non-Negative Integers- एन ≥ 0; [0,1,2,3 ...]

   0 न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक पूर्णांक।

4. Even Numbers- एन / 2 = 0 जहां एन गिनती संख्या है; [0,2,4, ...]

5. Odd Numbers- n / 2 where 0 जहां n गिनती संख्या है; [1,3,5, ...]

6. Prime Numbers - संख्याएँ जो केवल 1 के अलावा खुद से विभाज्य हैं।

1 एक अभाज्य संख्या नहीं है।

अभाज्य होने के लिए एक संख्या p का परीक्षण करने के लिए, एक पूर्ण संख्या k को खोजें जैसे कि k> top। इन अभाज्य संख्याओं में से प्रत्येक के साथ k और भाजित p के बराबर या उससे कम सभी अभाज्य संख्याएँ प्राप्त करें। यदि कोई संख्या p को बिल्कुल विभाजित नहीं करती है तो p एक अभाज्य संख्या है अन्यथा यह अभाज्य संख्या नहीं है।

Example: 191 is prime number or not?
Solution: 
Step 1 - 14 > √191
Step 2 - Prime numbers less than 14 are 2,3,5,7,11 and 13.
Step 3 - 191 is not divisible by any above prime number.
Result - 191 is a prime number.

Example: 187 is prime number or not?
Solution: 
Step 1 - 14 > √187
Step 2 - Prime numbers less than 14 are 2,3,5,7,11 and 13.
Step 3 - 187 is divisible by 11.
Result - 187 is not a prime number.

7. Composite Numbers - नॉन-प्राइम नंबर> 1. उदाहरण के लिए, 4,6,8,9 आदि।

1 न तो अभाज्य संख्या है और न ही मिश्रित संख्या।

2 केवल प्राइम नंबर है।

8. Co-Primes Numbers - दो प्राकृतिक संख्याएं सह-अपराध हैं यदि उनका HCF 1. उदाहरण के लिए, (2,3), (4,5) सह-अपराध हैं।

भाजकत्व

निम्नलिखित संख्याओं की विभाज्यता की जांच करने के लिए युक्तियां हैं।

1. Divisibility by 2 - एक संख्या 2 से विभाज्य है यदि इसकी इकाई अंक 0,2,4,6 या 8 है।

Example: 64578 is divisible by 2 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 8.
Result - 64578 is divisible by 2.

Example: 64575 is divisible by 2 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 5.
Result - 64575 is not divisible by 2.

2. Divisibility by 3 - एक संख्या 3 से विभाज्य है यदि उसके अंकों का योग 3 से पूरी तरह से विभाज्य है।

Example: 64578 is divisible by 3 or not?
Solution: 
Step 1 - Sum of its digits is 6 + 4 + 5 + 7 + 8 = 30 
which is divisible by 3.
Result - 64578 is divisible by 3.

Example: 64576 is divisible by 3 or not?
Solution: 
Step 1 - Sum of its digits is 6 + 4 + 5 + 7 + 6 = 28 
which is not divisible by 3.
Result - 64576 is not divisible by 3.

3. Divisibility by 4 - एक संख्या 4 से विभाज्य है यदि उसके अंतिम दो अंकों का उपयोग करके बनाई गई संख्या 4 से पूरी तरह से विभाज्य है।

Example: 64578 is divisible by 4 or not?
Solution: 
Step 1 - number formed using its last two digits is 78 
which is not divisible by 4.
Result - 64578 is not divisible by 4.

Example: 64580 is divisible by 4 or not?
Solution: 
Step 1 - number formed using its last two digits is 80 
which is divisible by 4.
Result - 64580 is divisible by 4.

4. Divisibility by 5 - एक संख्या 5 से विभाज्य है यदि इसकी इकाई अंक 0 या 5 है।

Example: 64578 is divisible by 5 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 8.
Result - 64578 is not divisible by 5.

Example: 64575 is divisible by 5 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 5.
Result - 64575 is divisible by 5.

5. Divisibility by 6 - संख्या 6 से विभाज्य है यदि संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है।

Example: 64578 is divisible by 6 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 8. Number is divisible by 2.
Step 2 - Sum of its digits is 6 + 4 + 5 + 7 + 8 = 30 
which is divisible by 3.
Result - 64578 is divisible by 6.

Example: 64576 is divisible by 6 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 8. Number is divisible by 2.
Step 2 - Sum of its digits is 6 + 4 + 5 + 7 + 6 = 28 
which is not divisible by 3.
Result - 64576 is not divisible by 6.

6. Divisibility by 8 - एक संख्या 8 से विभाज्य है यदि उसके अंतिम तीन अंकों का उपयोग करके बनाई गई संख्या 8 से पूरी तरह से विभाज्य है।

Example: 64578 is divisible by 8 or not?
Solution: 
Step 1 - number formed using its last three digits is 578 
which is not divisible by 8.
Result - 64578 is not divisible by 8.

Example: 64576 is divisible by 8 or not?
Solution: 
Step 1 - number formed using its last three digits is 576 
which is divisible by 8.
Result - 64576 is divisible by 8.

7. Divisibility by 9 - एक संख्या 9 से विभाज्य है यदि उसके अंकों का योग 9 से पूरी तरह से विभाज्य है।

Example: 64579 is divisible by 9 or not?
Solution: 
Step 1 - Sum of its digits is 6 + 4 + 5 + 7 + 9 = 31 
which is not divisible by 9.
Result - 64579 is not divisible by 9.

Example: 64575 is divisible by 9 or not?
Solution: 
Step 1 - Sum of its digits is 6 + 4 + 5 + 7 + 5 = 27 
which is divisible by 9.
Result - 64575 is divisible by 9.

8. Divisibility by 10 - एक संख्या 10 से विभाज्य है यदि इसकी इकाई अंक 0 है।

Example: 64575 is divisible by 10 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 5.
Result - 64578 is not divisible by 10.

Example: 64570 is divisible by 10 or not?
Solution: 
Step 1 - Unit digit is 0.
Result - 64570 is divisible by 10.

9. Divisibility by 11 - एक संख्या 11 से विभाज्य है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग में अंतर है और समान स्थानों पर अंकों का योग या तो 0 है या 11 से विभाज्य है।

Example: 64575 is divisible by 11 or not?
Solution: 
Step 1 - difference between sum of digits at odd places 
and sum of digits at even places = (6+5+5) - (4+7) = 5 
which is not divisible by 11.
Result - 64575 is not divisible by 11.

Example: 64075 is divisible by 11 or not?
Solution: 
Step 1 - difference between sum of digits at odd places 
and sum of digits at even places = (6+0+5) - (4+7) = 0.
Result - 64075 is divisible by 11.

विभाजन पर युक्तियाँ

1. यदि संख्या n दो सह-प्रिम्स संख्याओं से विभाज्य है a, b तो n, ab से विभाज्य है।

2. (ab) हमेशा विभाजित होता है ( ⁿ - b ⁿ ) यदि n एक प्राकृतिक संख्या है।

3. (a + b) हमेशा विभाजित होता है ( ⁿ - b ⁿ ) यदि n एक सम संख्या है।

4. (a + b) हमेशा विभाजित होता है ( ⁿ + b ⁿ ) यदि n एक विषम संख्या है।

प्रभाग एल्गोरिथम

जब एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित किया जाता है

Dividend = (Divisor x Quotient) + Reminder

श्रृंखला

बुनियादी संख्या श्रृंखला के सूत्र निम्नलिखित हैं:

1. (1 + 2 + 3 + ... + n) = (1/2) n (n + 1)

2. (1 ² +2 ² +3 ² + ... + n ² ) = (1/6) n (n + 1) (2n + 1)

3. (1 ³ +2 ³ +3 ³ + ... + n ³ ) = (1/4) n ² (n + 1) ²

मूल सूत्र

ये मूल सूत्र हैं:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)

(a2 - b2) = (a + b)(a - b)

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

(a3 + b3) = (a + b)(a2 -  ab + b2)

(a3 - b3) = (a - b)(a2 + ab + b2)

(a3 + b3 + c3 - 3abc) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)