Konvolusi dan Korelasi
Lilitan
Konvolusi adalah operasi matematika yang digunakan untuk mengekspresikan hubungan antara input dan output dari sistem LTI. Ini menghubungkan masukan, keluaran, dan respons impuls dari sistem LTI sebagai
$$ y (t) = x (t) * h (t) $$
Dimana y (t) = keluaran LTI
x (t) = masukan LTI
h (t) = respons impuls LTI
Ada dua jenis konvolusi:
Konvolusi terus menerus
Konvolusi diskrit
Konvolusi Berkelanjutan
$ y (t) \, \, = x (t) * h (t) $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $
(atau)
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t - \ tau) h (\ tau) d \ tau $
Konvolusi Diskrit
$ y (n) \, \, = x (n) * h (n) $
$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (k) h (nk) $
(atau)
$ = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (nk) h (k) $
Dengan menggunakan konvolusi kita dapat menemukan respon keadaan nol dari sistem.
Dekonvolusi
Dekonvolusi adalah proses kebalikan dari konvolusi yang banyak digunakan dalam pemrosesan sinyal dan gambar.
Sifat Konvolusi
Properti Komutatif
$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $
Properti Distributif
$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)] $
Properti Asosiatif
$ x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t)] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $
Pergeseran Properti
$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $
$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $
$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $
$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $
Konvolusi dengan Impuls
$ x_1 (t) * \ delta (t) = x (t) $
$ x_1 (t) * \ delta (t- t_0) = x (t-t_0) $
Konvolusi Langkah Satuan
$ u (t) * u (t) = r (t) $
$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r (t-T_1-T_2) $
$ u (n) * u (n) = [n + 1] u (n) $
Properti Scaling
Jika $ x (t) * h (t) = y (t) $
lalu $ x (at) * h (at) = {1 \ over | a |} y (at) $
Diferensiasi Output
jika $ y (t) = x (t) * h (t) $
lalu $ {dy (t) \ over dt} = {dx (t) \ over dt} * h (t) $
atau
$ {dy (t) \ over dt} = x (t) * {dh (t) \ over dt} $
Note:
Konvolusi dari dua rangkaian kausal adalah kausal.
Konvolusi dari dua rangkaian anti kausal adalah anti kausal.
Konvolusi dua persegi panjang yang tidak sama menghasilkan trapesium.
Konvolusi dari dua persegi panjang yang sama menghasilkan segitiga.
Fungsi yang berbelit-belit itu sendiri sama dengan integrasi fungsi itu.
Example: Anda tahu bahwa $ u (t) * u (t) = r (t) $
Berdasarkan catatan di atas, $ u (t) * u (t) = \ int u (t) dt = \ int 1dt = t = r (t) $
Di sini, Anda mendapatkan hasilnya hanya dengan mengintegrasikan $ u (t) $.
Batasan Sinyal Berbelit-belit
Jika dua sinyal berbelit maka sinyal berbelit yang dihasilkan memiliki range sebagai berikut:
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
Contoh: temukan kisaran konvolusi sinyal yang diberikan di bawah ini
Di sini, kita memiliki dua persegi panjang dengan panjang yang tidak sama untuk berbelit, yang menghasilkan trapesium.
Kisaran sinyal berbelit-belit adalah:
Sum of lower limits < t < sum of upper limits
$ -1 + -2 <t <2 + 2 $
$ -3 <t <4 $
Maka hasilnya adalah trapesium dengan periode 7.
Area Sinyal Berbelit-belit
Area di bawah sinyal berbelit-belit diberikan oleh $ A_y = A_x A_h $
Dimana A x = area di bawah sinyal input
A h = area di bawah respons impuls
A y = area di bawah sinyal keluaran
Proof: $ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau $
Ambil integrasi di kedua sisi
$ \ int y (t) dt \, \, \, = \ int \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau dt $
$ = \ int x (\ tau) d \ tau \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (t- \ tau) dt $
Kita tahu bahwa area sinyal apa pun adalah integrasi dari sinyal itu sendiri.
$ \ oleh karena itu A_y = A_x \, A_h $
Komponen DC
Komponen DC dari sinyal apa pun diberikan oleh
$ \ text {DC component} = {\ text {area sinyal} \ over \ text {periode sinyal}} $
Contoh: apa komponen dc dari sinyal berbelit-belit resultan yang diberikan di bawah ini?
Disini luas x 1 (t) = panjang × lebar = 1 × 3 = 3
luas x 2 (t) = panjang × lebar = 1 × 4 = 4
luas sinyal berbelit = luas x 1 (t) × luas x 2 (t)
= 3 × 4 = 12
Durasi sinyal berbelit-belit = jumlah batas bawah <t <jumlah batas atas
= -1 + -2 <t <2 + 2
= -3 <t <4
Period=7
$ \ Oleh karena itu $ Dc komponen sinyal berbelit = $ \ text {area sinyal} \ over \ text {periode sinyal} $
Komponen Dc = $ {12 \ over 7} $
Konvolusi Diskrit
Mari kita lihat bagaimana menghitung konvolusi diskrit:
i. To calculate discrete linear convolution:
Konvolusi dua urutan x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]
Keluaran berbelit-belit = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]
Note: jika ada dua urutan yang masing-masing memiliki m, n jumlah sampel, maka urutan berbelit-belit yang dihasilkan akan memiliki [m + n-1] sampel.
Example: Konvolusi dua urutan x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}
Keluaran berbelit-belit y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]
= [-1, 0, 3, 10, 6]
Disini x [n] berisi 3 sampel dan h [n] juga memiliki 3 sampel sehingga urutan yang dihasilkan memiliki 3 + 3-1 = 5 sampel.
ii. To calculate periodic or circular convolution:
Konvolusi periodik berlaku untuk transformasi Fourier diskrit. Untuk menghitung konvolusi periodik, semua sampel harus nyata. Konvolusi periodik atau melingkar juga disebut sebagai konvolusi cepat.
Jika dua urutan dengan panjang m, n masing-masing berbelit-belit menggunakan konvolusi melingkar maka urutan yang dihasilkan memiliki sampel [m, n] maks.
Contoh: konvolusi dua urutan x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} menggunakan konvolusi melingkar
Output berbelit-belit normal y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6].
= [-1, 0, 3, 10, 6]
Di sini x [n] berisi 3 sampel dan h [n] juga memiliki 3 sampel. Oleh karena itu urutan yang dihasilkan diperoleh dengan konvolusi melingkar harus memiliki max [3,3] = 3 sampel.
Sekarang untuk mendapatkan hasil konvolusi periodik, 3 sampel pertama [karena periodenya 3] dari konvolusi normal adalah sama, selanjutnya dua sampel ditambahkan ke sampel pertama seperti yang ditunjukkan di bawah ini:
$ \ oleh karena itu $ hasil konvolusi lingkaran $ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $
Korelasi
Korelasi adalah ukuran kemiripan antara dua sinyal. Rumus umum untuk korelasi adalah
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) dt $$
Ada dua jenis korelasi:
Korelasi otomatis
Korelasi silang
Fungsi Korelasi Otomatis
Ini didefinisikan sebagai korelasi sinyal dengan dirinya sendiri. Fungsi korelasi otomatis adalah ukuran kemiripan antara sinyal & versi tunda waktunya. Itu diwakili dengan R ($ \ tau $).
Pertimbangkan sinyal x (t). Fungsi korelasi otomatis x (t) dengan versi waktu tunda diberikan oleh
$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x (t + \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$
Dimana $ \ tau $ = mencari atau memindai atau menunda parameter.
Jika sinyalnya kompleks maka fungsi korelasi otomatis diberikan oleh
$$ R_ {11} (\ tau) = R (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) x * (t- \ tau) dt \ quad \ quad \ text {[ + ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t + \ tau) x * (t) dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift] } $$
Sifat Fungsi Korelasi Otomatis Sinyal Energi
Korelasi otomatis menunjukkan simetri konjugasi yaitu R ($ \ tau $) = R * (- $ \ tau $)
Fungsi korelasi otomatis sinyal energi di asal yaitu pada $ \ tau $ = 0 sama dengan energi total sinyal tersebut, yang diberikan sebagai:
R (0) = E = $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, | \, x (t) \, | ^ 2 \, dt $
Fungsi korelasi otomatis $ \ infty {1 \ over \ tau} $,
Fungsi korelasi otomatis maksimum pada $ \ tau $ = 0 yaitu | R ($ \ tau $) | ≤ R (0) ∀ $ \ tau $
Fungsi korelasi otomatis dan densitas spektral energi adalah pasangan transformasi Fourier. yaitu
$ FT \, [R (\ tau)] = \ Psi (\ omega) $
$ \ Psi (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $
Fungsi Korelasi Otomatis Sinyal Daya
Fungsi korelasi otomatis sinyal daya periodik dengan periode T diberikan oleh
$$ R (\ tau) = \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x * (t- \ tau) dt $$
Properti
Korelasi otomatis sinyal daya menunjukkan simetri konjugasi yaitu $ R (\ tau) = R * (- \ tau) $
Fungsi korelasi otomatis sinyal daya pada $ \ tau = 0 $ (di tempat asal) sama dengan daya total sinyal tersebut. yaitu
$ R (0) = \ rho $
Fungsi korelasi otomatis sinyal daya $ \ infty {1 \ over \ tau} $,
Fungsi korelasi otomatis sinyal daya maksimum pada $ \ tau $ = 0 yaitu,
$ | R (\ tau) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $
Fungsi korelasi otomatis dan kepadatan spektral daya adalah pasangan transformasi Fourier. yaitu,
$ FT [R (\ tau)] = s (\ omega) $
$ s (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} R (\ tau) e ^ {- j \ omega \ tau} d \ tau $
$ R (\ tau) = x (\ tau) * x (- \ tau) $
Spektrum Densitas
Mari kita lihat spektrum kepadatan:
Spektrum Densitas Energi
Spektrum densitas energi dapat dihitung dengan rumus:
$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, x (f) \, | ^ 2 df $$
Spektrum Densitas Daya
Spektrum densitas daya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
$$ P = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \, | \, C_n | ^ 2 $$
Fungsi Korelasi Silang
Korelasi silang adalah ukuran kesamaan antara dua sinyal yang berbeda.
Pertimbangkan dua sinyal x 1 (t) dan x 2 (t). Korelasi silang dari dua sinyal ini $ R_ {12} (\ tau) $ diberikan oleh
$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $$
Jika sinyal kompleks maka
$$ R_ {12} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $
$$ R_ {21} (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t) x_1 ^ {*} (t- \ tau) \, dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$
$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t + \ tau) x_1 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $
Sifat Fungsi Korelasi Silang Sinyal Energi dan Daya
Korelasi otomatis menunjukkan simetri konjugasi yaitu $ R_ {12} (\ tau) = R ^ * _ {21} (- \ tau) $.
Korelasi silang tidak bersifat komutatif seperti konvolusi
$$ R_ {12} (\ tau) \ neq R_ {21} (- \ tau) $$
-
Jika R 12 (0) = 0 berarti, jika $ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t) x_2 ^ * (t) dt = 0 $, maka kedua sinyal tersebut dikatakan ortogonal.
Untuk sinyal daya jika $ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{- T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \, x (t) x ^ * ( t) \, dt $ maka dua sinyal dikatakan ortogonal.
Fungsi korelasi silang berkaitan dengan perkalian spektrum satu sinyal ke konjugasi kompleks spektrum sinyal lain. yaitu
$$ R_ {12} (\ tau) \ leftarrow \ rightarrow X_1 (\ omega) X_2 ^ * (\ omega) $$
Ini juga disebut sebagai teorema korelasi.
Teorema Parseval
Teorema Parseval untuk sinyal energi menyatakan bahwa energi total dalam suatu sinyal dapat diperoleh dengan spektrum sinyal sebagai
$ E = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ omega) | ^ 2 d \ omega $
Note: Jika sebuah sinyal memiliki energi E maka versi skala waktu dari sinyal tersebut x (at) memiliki energi E / a.