Transformasi Laplace (LT)
Transformasi Fourier Kompleks juga disebut sebagai Transformasi Laplace Bilateral. Ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Pertimbangkan sistem LTI yang dikeluarkan oleh sinyal eksponensial kompleks dalam bentuk x (t) = Ge st .
Di mana s = bilangan kompleks apa pun = $ \ sigma + j \ omega $,
σ = real dari s, dan
ω = imajiner dari s
Respon LTI dapat diperoleh dengan konvolusi input dengan respon impulsnya yaitu
$ y (t) = x (t) \ times h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, x (t- \ tau) d \ tau $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, Ge ^ {s (t- \ tau)} d \ tau $
$ = Ge ^ {st}. \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, e ^ {(- s \ tau)} d \ tau $
$ y (t) = Ge ^ {st} .H (S) = x (t) .H (S) $
Dimana H (S) = Transformasi Laplace dari $ h (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e ^ {- s \ tau} d \ tau $
Demikian pula, transformasi Laplace dari $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt \, ... \, ... ( 1) $
Hubungan antara Transformasi Laplace dan Fourier
Transformasi Laplace dari $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt $
Substitusi s = σ + jω pada persamaan di atas.
$ → X (\ sigma + j \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (t) e ^ {- (\ sigma + j \ omega) t} dt $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [x (t) e ^ {- \ sigma t}] e ^ {- j \ omega t} dt $
$ \ oleh karena itu X (S) = KAKI [x (t) e ^ {- \ sigma t}] \, ... \, ... (2) $
$ X (S) = X (\ omega) \ quad \ quad untuk \, \, s = j \ omega $
Transformasi Laplace Terbalik
Anda tahu bahwa $ X (S) = KAKI [x (t) e ^ {- \ sigma t}] $
$ \ ke x (t) e ^ {- \ sigma t} = KAK ^ {- 1} [X (S)] = KAK ^ {- 1} [X (\ sigma + j \ omega)] $
$ = {1 \ over 2} \ pi \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $
$ x (t) = e ^ {\ sigma t} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $
$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {(\ sigma + j \ omega) t} d \ omega \ ,. .. \, ... (3) $
Di sini, $ \ sigma + j \ omega = s $
$ jdω = ds → dω = ds / j $
$ \ oleh karena itu x (t) = {1 \ lebih dari 2 \ pi j} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (s) e ^ {st} ds \, ... \, ... ( 4) $
Persamaan 1 dan 4 mewakili Laplace dan Inverse Laplace Transform dari sinyal x (t).
Kondisi Keberadaan Transformasi Laplace
Kondisi Dirichlet digunakan untuk mendefinisikan keberadaan transformasi Laplace. yaitu
Fungsi f (t) memiliki jumlah maksimum dan minimum yang terbatas.
Harus ada jumlah diskontinuitas yang terbatas dalam sinyal f (t), dalam interval waktu tertentu.
Itu harus benar-benar dapat diintegrasikan dalam interval waktu tertentu. yaitu
$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, f (t) | \, dt \ lt \ infty $
Teorema Nilai Awal dan Akhir
Jika transformasi Laplace dari fungsi yang tidak diketahui x (t) diketahui, maka dimungkinkan untuk menentukan nilai awal dan akhir dari sinyal yang tidak diketahui tersebut yaitu x (t) pada t = 0 + dan t = ∞.
Teorema Nilai Awal
Statement: jika x (t) dan turunan pertamanya adalah Laplace transformable, maka nilai awal x (t) diberikan oleh
$$ x (0 ^ +) = \ lim_ {s \ hingga \ infty} SX (S) $$
Teorema Nilai Akhir
Statement: jika x (t) dan turunan pertamanya adalah Laplace transformable, maka nilai akhir dari x (t) diberikan oleh
$$ x (\ infty) = \ lim_ {s \ to \ infty} SX (S) $$