Analisis Sinyal

Analogi Antara Vektor dan Sinyal

Ada analogi yang sempurna antara vektor dan sinyal.

Vektor

Sebuah vektor berisi besar dan arah. Nama vektor dilambangkan dengan tipe wajah tebal dan besarnya dilambangkan dengan tipe wajah terang.

Example:V adalah vektor dengan magnitudo V. Pertimbangkan dua vektor V ₁ dan V ₂ seperti yang ditunjukkan pada diagram berikut. Misalkan komponen V ₁ bersama dengan V ₂ diberikan oleh C ₁₂ V ₂ . Komponen vektor V ₁ bersama dengan vektor V ₂ dapat diperoleh dengan mengambil garis tegak lurus dari ujung V ₁ ke vektor V ₂ seperti yang ditunjukkan pada diagram:

Vektor V ₁ dapat dinyatakan dalam vektor V ₂

V ₁ = C ₁₂ V ₂ + V _e

Dimana Ve adalah vektor kesalahan.

Tapi ini bukan satu-satunya cara untuk mengekspresikan vektor V ₁ dalam hal V ₂ . Kemungkinan alternatifnya adalah:

Sinyal kesalahan minimum untuk nilai komponen yang besar. Jika C ₁₂ = 0, maka dua sinyal dikatakan ortogonal.

Produk Titik dari Dua Vektor

V ₁ . V ₂ = V ₁ .V ₂ cosθ

θ = Sudut antara V1 dan V2

V ₁ . V ₂ = V ₂ .V ₁

Komponen dari V ₁ alog _n V ₂ = V ₁ Cos θ = $ V1.V2 \ over V2 $

Dari diagram tersebut, komponen V ₁ alog _n V ₂ = C ₁₂ V ₂

$$ V_1.V_2 \ di atas V_2 = C_12 \, V_2 $$

$$ \ Rightarrow C_ {12} = {V_1.V_2 \ di atas V_2} $$

Sinyal

Konsep ortogonalitas dapat diterapkan pada sinyal. Mari kita perhatikan dua sinyal f ₁ (t) dan f ₂ (t). Mirip dengan vektor, Anda dapat memperkirakan f ₁ (t) dalam istilah f ₂ (t) sebagai

f ₁ (t) = C ₁₂ f ₂ (t) + f _e (t) untuk (t ₁ <t <t ₂ )

$ \ Panah Kanan $ f _e (t) = f ₁ (t) - C ₁₂ f ₂ (t)

Salah satu cara yang mungkin untuk meminimalkan kesalahan adalah mengintegrasikan selama interval t ₁ hingga t ₂ .

$$ {1 \ lebih dari {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] dt $$

$$ {1 \ lebih dari {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t) - C_ {12} f_2 (t)] dt $$

Namun, langkah ini juga tidak mengurangi kesalahan secara signifikan. Ini dapat diperbaiki dengan mengambil fungsi kuadrat kesalahan.

$ \ varepsilon = {1 \ selama {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt $

$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) - C_ {12} f_2] ^ 2 dt $

Dimana ε adalah nilai kuadrat rata-rata dari sinyal kesalahan. Nilai C ₁₂ yang meminimalkan kesalahan, Anda perlu menghitung $ {d \ varepsilon \ over dC_ {12}} = 0 $

$ \ Rightarrow {d \ over dC_ {12}} [{1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t) - C_ {12} f_2 (t)] ^ 2 dt] = 0 $

$ \ Rightarrow {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [{d \ over dC_ {12}} f_ {1} ^ 2 (t) - {d \ over dC_ {12} } 2f_1 (t) C_ {12} f_2 (t) + {d \ over dC_ {12}} f_ {2} ^ {2} (t) C_ {12} ^ 2] dt = 0 $

Turunan dari suku yang tidak memiliki suku C12 adalah nol.

$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} - 2f_1 (t) f_2 (t) dt + 2C_ {12} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_ {2} ^ {2} (t)] dt = 0 $

Jika $ C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t ) dt}} $ komponen nol, maka dua sinyal dikatakan ortogonal.

Masukkan C ₁₂ = 0 untuk mendapatkan kondisi ortogonalitas.

0 = $ {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t) dt}} $

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt = 0 $$

Ruang Vektor Ortogonal

Satu set lengkap vektor ortogonal disebut sebagai ruang vektor ortogonal. Pertimbangkan ruang vektor tiga dimensi seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

Pertimbangkan vektor A pada suatu titik (X ₁ , Y ₁ , Z ₁ ). Pertimbangkan tiga vektor satuan (V _X , V _Y , V _Z ) pada arah sumbu X, Y, Z masing-masing. Karena vektor-vektor satuan ini saling ortogonal, hal itu memuaskannya

$$ V_X. V_X = V_Y. V_Y = V_Z. V_Z = 1 $$

$$ V_X. V_Y = V_Y. V_Z = V_Z. V_X = 0 $$

Anda dapat menulis kondisi di atas sebagai

$$ V_a. V_b = \ kiri \ {\ begin {larik} {ll} 1 & \ quad a = b \\ 0 & \ quad a \ neq b \ end {larik} \ kanan. $$

Vektor A dapat direpresentasikan dalam bentuk komponen dan vektor satuannya sebagai

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z ................ (1) $

Vektor apa pun dalam ruang tiga dimensi ini dapat direpresentasikan dalam bentuk tiga vektor satuan ini saja.

Jika Anda mempertimbangkan n ruang berdimensi, maka vektor A apa pun di ruang itu dapat direpresentasikan sebagai

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + N_1V_N ..... (2) $

Karena besaran vektor satuan adalah satu kesatuan untuk setiap vektor A.

Komponen A sepanjang sumbu x = AV _X

Komponen A sepanjang sumbu Y = AV _Y

Komponen A sepanjang sumbu Z = AV _Z

Demikian pula untuk n ruang dimensi, komponen A sepanjang beberapa sumbu G.

$ = A.VG ............... (3) $

Gantikan persamaan 2 pada persamaan 3.

$ \ Rightarrow CG = (X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + G_1 V_G ... + N_1V_N) V_G $

$ = X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G + ... + G_1V_G V_G ... + N_1V_N V_G $

$ = G_1 \, \, \, \, \, \ text {karena} V_G V_G = 1 $

$ Jika V_G V_G \ neq 1 \, \, \ teks {yaitu} V_G V_G = k $

$ AV_G = G_1V_G V_G = G_1K $

$ G_1 = {(AV_G) \ lebih dari K} $

Ruang Sinyal Orthogonal

Mari kita pertimbangkan satu himpunan n fungsi yang saling ortogonal x ₁ (t), x ₂ (t) ... x _n (t) selama interval t ₁ sampai t ₂ . Karena fungsi-fungsi ini ortogonal satu sama lain, dua sinyal x _j (t), x _k (t) apa pun harus memenuhi kondisi ortogonalitas. yaitu

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_j (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \, \ text {di mana} \, j \ neq k $$

$$ \ text {Let} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_ {k} ^ {2} (t) dt = k_k $$

Misalkan sebuah fungsi f (t), itu dapat didekati dengan ruang sinyal ortogonal ini dengan menambahkan komponen-komponen sepanjang sinyal ortogonal yang saling menguntungkan yaitu

$ \, \, \, f (t) = C_1x_1 (t) + C_2x_2 (t) + ... + C_nx_n (t) + f_e (t) $

$ \ quad \ quad = \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t) $

$ \, \, \, f (t) = f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t) $

Rata-rata kesalahan sqaure $ \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt $

$$ = {1 \ over t_2 - t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f [t] - \ sum_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t)] ^ 2 dt $$

Komponen yang meminimalkan kesalahan kuadrat rata-rata dapat ditemukan dengan

$$ {d \ varepsilon \ over dC_1} = {d \ varepsilon \ over dC_2} = ... = {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $$

Mari kita pertimbangkan $ {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0 $

$$ {d \ over dC_k} [{1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt] = 0 $$

Semua suku yang tidak mengandung C _k adalah nol. yaitu dalam penjumlahan, suku r = k tetap dan semua suku lainnya adalah nol.

$$ \ int_ {t_1} ^ {t_2} - 2 f (t) x_k (t) dt + 2C_k \ int_ {t_1} ^ {t_2} [x_k ^ 2 (t)] dt = 0 $$

$$ \ Rightarrow C_k = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt} \ over {int_ {t_1} ^ {t_2} x_k ^ 2 (t) dt}} $$

$$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = C_kK_k $$

Mean Square Error

Rata-rata kuadrat dari fungsi error f _e (t) disebut sebagai mean square error. Ini dilambangkan dengan ε (epsilon).

.

$ \ varepsilon = {1 \ di atas t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2dt $

$ \, \, \, \, = {1 \ di atas t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt $

$ \, \, \, \, = {1 \ di atas t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt - 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (t) dt $

Anda tahu bahwa $ C_ {r} ^ {2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt = C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (d) dt = C_r ^ 2 K_r $

$ \ varepsilon = {1 \ di atas t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r - 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $

$ \, \, \, \, = {1 \ di atas t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt - \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r] $

$ \, \ oleh karena itu \ varepsilon = {1 \ di atas t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + (C_1 ^ 2 K_1 + C_2 ^ 2 K_2 + ... + C_n ^ 2 K_n)] $

Persamaan di atas digunakan untuk mengevaluasi kesalahan kuadrat rata-rata.

Kumpulan Fungsi Ortogonal Tertutup dan Lengkap

Mari kita pertimbangkan satu himpunan n fungsi yang saling ortogonal x ₁ (t), x ₂ (t) ... x _n (t) selama interval t ₁ sampai t ₂ . Ini disebut sebagai himpunan tertutup dan lengkap jika tidak ada fungsi f (t) yang memenuhi kondisi $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 $

Jika fungsi ini memenuhi persamaan $ \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \ text {for} \, k = 1,2, .. $ lalu f (t) dikatakan ortogonal untuk setiap fungsi himpunan ortogonal. Set ini tidak lengkap tanpa f (t). Ini menjadi tertutup dan set lengkap ketika f (t) disertakan.

f (t) dapat didekati dengan himpunan ortogonal ini dengan menambahkan komponen-komponen di sepanjang sinyal ortogonal yang saling menguntungkan yaitu

$$ f (t) = C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) + f_e (t) $$

Jika deret tak hingga $ C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) $ konvergen ke f (t) maka berarti galat kuadrat adalah nol.

Ortogonalitas dalam Fungsi Kompleks

Jika f ₁ (t) dan f ₂ (t) adalah dua fungsi kompleks, maka f ₁ (t) dapat dinyatakan dalam f ₂ (t) sebagai

$ f_1 (t) = C_ {12} f_2 (t) \, \, \, \, \, \, \, \, $ ..dengan kesalahan yang dapat diabaikan

Di mana $ C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt}} $

Di mana $ f_2 ^ * (t) $ = konjugasi kompleks dari f ₂ (t).

Jika f ₁ (t) dan f ₂ (t) ortogonal maka C ₁₂ = 0

$$ {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt \ over \ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt} = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (dt) = 0 $$

Persamaan di atas merepresentasikan kondisi ortogonalitas dalam fungsi yang kompleks.