Z-Transforms (ZT)

Analisis sistem LTI waktu kontinu dapat dilakukan dengan menggunakan z-transforms. Ini adalah alat matematika yang ampuh untuk mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar.

Transformasi-z bilateral (dua sisi) dari sinyal waktu diskrit x (n) diberikan sebagai

$Z.T[x(n)]=X(Z)={\mathrm{\Sigma }}_{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)z^{-n}$

Transformasi-z unilateral (satu sisi) dari sinyal waktu diskrit x (n) diberikan sebagai

$Z.T[x(n)]=X(Z)={\mathrm{\Sigma }}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}x(n)z^{-n}$

Transformasi-Z mungkin ada untuk beberapa sinyal yang Transformasi Fourier Waktu Diskrit (DTFT) tidak ada.

Konsep Z-Transform dan Inverse Z-Transform

Transformasi Z dari sinyal waktu diskrit x (n) dapat direpresentasikan dengan X (Z), dan didefinisikan sebagai

$X(Z)={\mathrm{\Sigma }}_{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)z^{-n}......(1)$

Jika $Z=r{e}^{j\omega }$ maka persamaan 1 menjadi

$X(r{e}^{j\omega })={\mathrm{\Sigma }}_{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)[r{e}^{j\omega }{]}^{-n}$

$={\mathrm{\Sigma }}_{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(n)[r^{-n}]e^{-j\omega n}$

$X(r{e}^{j\omega })=X(Z)=F.T[x(n)r^{-n}]......(2)$

Persamaan di atas merepresentasikan hubungan antara Transformasi Fourier dan Transformasi-Z.

$X(Z){|}_{z=e^{j\omega }}=F.T[x(n)].$

Transformasi Z terbalik

$X(r{e}^{j\omega })=F.T[x(n)r^{-n}]$

$x(n)r^{-n}=F.T^{-1}[X(r{e}^{j\omega }]$

$x(n)=r^{n}F.T^{-1}[X(r{e}^{j\omega })]$

$=r^n\frac{1}{2\pi }\int X(re{}^j\omega )e^{j\omega n}d\omega$

$=\frac{1}{2\pi }\int X(re{}^j\omega )[r{e}^{j\omega }{]}^{n}d\omega ......(3)$

Pengganti $r{e}^{j\omega }=z$.

$dz=jr{e}^{j\omega }d\omega =jzd\omega$

$d\omega =\frac{1}{j}{z}^{-1}dz$

Gantikan dalam persamaan 3.

$3\to x(n)=\frac{1}{2\pi }\int X(z)z^n\frac{1}{j}{z}^{-1}dz=\frac{1}{2\pi j}\int X(z)z^{n-1}dz$