Z-Transforms (ZT)
Analisis sistem LTI waktu kontinu dapat dilakukan dengan menggunakan z-transforms. Ini adalah alat matematika yang ampuh untuk mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar.
Transformasi-z bilateral (dua sisi) dari sinyal waktu diskrit x (n) diberikan sebagai
$Z.T[x(n)] = X(Z) = \Sigma_{n = -\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} $
Transformasi-z unilateral (satu sisi) dari sinyal waktu diskrit x (n) diberikan sebagai
$Z.T[x(n)] = X(Z) = \Sigma_{n = 0}^{\infty} x(n)z^{-n} $
Transformasi-Z mungkin ada untuk beberapa sinyal yang Transformasi Fourier Waktu Diskrit (DTFT) tidak ada.
Konsep Z-Transform dan Inverse Z-Transform
Transformasi Z dari sinyal waktu diskrit x (n) dapat direpresentasikan dengan X (Z), dan didefinisikan sebagai
$X(Z) = \Sigma_{n=- \infty }^ {\infty} x(n)z^{-n} \,...\,...\,(1)$
Jika $Z = re^{j\omega}$ maka persamaan 1 menjadi
$X(re^{j\omega}) = \Sigma_{n=- \infty}^{\infty} x(n)[re^{j \omega} ]^{-n}$
$= \Sigma_{n=- \infty}^{\infty} x(n)[r^{-n} ] e^{-j \omega n}$
$X(re^{j \omega} ) = X(Z) = F.T[x(n)r^{-n}] \,...\,...\,(2) $
Persamaan di atas merepresentasikan hubungan antara Transformasi Fourier dan Transformasi-Z.
$ X(Z) |_{z=e^{j \omega}} = F.T [x(n)]. $
Transformasi Z terbalik
$X(re^{j \omega}) = F.T[x(n)r^{-n}] $
$x(n)r^{-n} = F.T^{-1}[X(re^{j \omega}]$
$x(n) = r^n\,F.T^{-1}[X(re^{j \omega} )]$
$= r^n {1 \over 2\pi} \int X(re{^j \omega} )e^{j \omega n} d \omega $
$= {1 \over 2\pi} \int X(re{^j \omega} )[re^{j \omega} ]^n d \omega \,...\,...\,(3)$
Pengganti $re^{j \omega} = z$.
$dz = jre^{j \omega} d \omega = jz d \omega$
$d \omega = {1 \over j }z^{-1}dz$
Gantikan dalam persamaan 3.
$ 3\, \to \, x(n) = {1 \over 2\pi} \int\, X(z)z^n {1 \over j } z^{-1} dz = {1 \over 2\pi j} \int \,X(z) z^{n-1} dz $
$$X(Z) = \sum_{n=- \infty }^{\infty} \,x(n)z^{-n}$$ $$x(n) = {1 \over 2\pi j} \int\, X(z) z^{n-1} dz$$