Teorema Sampling Sinyal

Statement:Sinyal waktu kontinu dapat direpresentasikan dalam sampelnya dan dapat dipulihkan kembali ketika frekuensi sampling f s lebih besar dari atau sama dengan dua kali komponen frekuensi tertinggi dari sinyal pesan. yaitu

$$ f_s \ geq 2 f_m. $$

Proof:Pertimbangkan sinyal waktu kontinu x (t). Spektrum x (t) adalah pita yang dibatasi pada f m Hz yaitu spektrum x (t) adalah nol untuk | ω |> ω m .

Pengambilan sampel sinyal input x (t) dapat diperoleh dengan mengalikan x (t) dengan rangkaian impuls δ (t) periode T s . Keluaran pengali adalah sinyal diskrit yang disebut sinyal sampel yang direpresentasikan dengan y (t) pada diagram berikut:

Di sini, Anda dapat mengamati bahwa sinyal sampel mengambil periode impuls. Proses pengambilan sampel dapat dijelaskan dengan ekspresi matematika berikut:

$ \ text {Sinyal sampel} \, y (t) = x (t). \ delta (t) \, \, ... \, ... (1) $

Representasi deret Fourier trigonometri dari $ \ delta $ (t) diberikan oleh

$ \ delta (t) = a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos⁡ n \ omega_s t + b_n \ sin⁡ n \ omega_s t) \, \, ... \ ,. .. (2) $

Di mana $ a_0 = {1 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) dt = {1 \ over T_s} \ delta (0) = {1 \ over T_s } $

$ a_n = {2 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) \ cos n \ omega_s \, dt = {2 \ over T_2} \ delta (0) \ cos n \ omega_s 0 = {2 \ lebih dari T} $

$ b_n = {2 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) \ sin⁡ n \ omega_s t \, dt = {2 \ over T_s} \ delta ( 0) \ sin⁡ n \ omega_s 0 = 0 $

Gantikan nilai di atas dalam persamaan 2.

$ \ oleh karena itu \, \ delta (t) = {1 \ over T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ over T_s} \ cos ⁡ n \ omega_s t + 0) $

Substitusi δ (t) dalam persamaan 1.

$ \ ke y (t) = x (t). \ delta (t) $

$ = x (t) [{1 \ over T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ over T_s} \ cos n \ omega_s t)] $

$ = {1 \ lebih T_s} [x (t) + 2 \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ cos n \ omega_s t) x (t)] $

$ y (t) = {1 \ over T_s} [x (t) + 2 \ cos \ omega_s tx (t) + 2 \ cos 2 \ omega_st.x (t) + 2 \ cos 3 \ omega_s tx (t) \, ... \, ... \,] $

Ambil transformasi Fourier di kedua sisi.

$ Y (\ omega) = {1 \ over T_s} [X (\ omega) + X (\ omega- \ omega_s) + X (\ omega + \ omega_s) + X (\ omega-2 \ omega_s) + X (\ omega + 2 \ omega_s) + \, ...] $

$ \ oleh karena itu \, \, Y (\ omega) = {1 \ over T_s} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} X (\ omega - n \ omega_s) \ quad \ quad di mana \, \ , n = 0, \ pm1, \ pm2, ... $

Untuk merekonstruksi x (t), Anda harus memulihkan spektrum sinyal input X (ω) dari sampel spektrum sinyal Y (ω), yang dimungkinkan bila tidak ada tumpang tindih antara siklus Y (ω).

Kemungkinan spektrum frekuensi sampel dengan kondisi berbeda diberikan oleh diagram berikut:

Efek Aliasing

Wilayah yang tumpang tindih jika pengambilan sampel sedang mewakili efek aliasing, yang dapat dihapus oleh

  • mempertimbangkan f s > 2f m

  • Dengan menggunakan filter anti aliasing.