Properti Z-Transforms

Z-Transform memiliki properti berikut:

Properti Linearitas

Jika $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

dan $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

Kemudian properti linieritas menyatakan itu

$a\, x (n) + b\, y (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} a\, X(Z) + b\, Y(Z)$


Properti Pergeseran Waktu

Jika $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

Kemudian properti Time shifting menyatakan itu

$x (n-m) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} z^{-m} X(Z)$

Perkalian dengan Properti Urutan Eksponensial


Jika $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

Kemudian perkalian dengan properti urutan eksponensial menyatakan bahwa

$a^n\, . x(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z/a)$


Properti Pembalikan Waktu

Jika $\, x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

Kemudian properti pembalikan waktu menyatakan itu

$x (-n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(1/Z)$


Diferensiasi dalam Z-Domain ATAU Perkalian dengan n Properti

Jika $\, x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

Kemudian perkalian dengan n atau diferensiasi pada properti domain-z menyatakan bahwa

$ n^k x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} [-1]^k z^k{d^k X(Z) \over dZ^K} $


Properti Konvolusi

Jika $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

dan $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

Kemudian properti konvolusi menyatakan itu

$x(n) * y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z)$


Properti Korelasi

Jika $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

dan $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

Kemudian properti korelasi menyatakan itu

$x(n) \otimes y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z^{-1})$


Nilai Awal dan Nilai Akhir Teorema

Teorema nilai awal dan nilai akhir transformasi-z ditentukan untuk sinyal kausal.

Teorema Nilai Awal

Untuk sinyal kausal x (n), teorema nilai awal menyatakan bahwa

$ x (0) = \lim_{z \to \infty }⁡X(z) $

Ini digunakan untuk mencari nilai awal sinyal tanpa melakukan invers z-transform

Teorema Nilai Akhir

Untuk sinyal kausal x (n), teorema nilai akhir menyatakan bahwa

$ x ( \infty ) = \lim_{z \to 1} [z-1] ⁡X(z) $

Ini digunakan untuk mencari nilai akhir dari sinyal tanpa melakukan invers z-transform.

Region of Convergence (ROC) dari Z-Transform

Kisaran variasi z yang konvergensi transformasi-z disebut wilayah konvergensi transformasi-z.

Properti ROC dari Z-Transforms

  • ROC transformasi-z ditandai dengan lingkaran pada bidang-z.

  • ROC tidak mengandung kutub apapun.

  • Jika x (n) adalah urutan sebab akibat durasi terbatas atau urutan sisi kanan, maka ROC adalah seluruh bidang-z kecuali pada z = 0.

  • Jika x (n) adalah urutan anti-sebab akibat berdurasi terbatas atau urutan sisi kiri, maka ROC adalah seluruh bidang-z kecuali pada z = ∞.

  • Jika x (n) adalah urutan sebab akibat durasi tak terhingga, ROC berada di luar lingkaran dengan jari-jari aie | z | > a.

  • Jika x (n) adalah urutan anti-sebab akibat berdurasi tak terhingga, ROC adalah interior lingkaran dengan jari-jari aie | z | <a.

  • Jika x (n) adalah durasi terbatas urutan dua sisi, maka ROC adalah seluruh bidang-z kecuali pada z = 0 & z = ∞.

Konsep ROC dapat dijelaskan dengan contoh berikut:

Example 1: Temukan z-transform dan ROC dari $a^n u[n] + a^{-}nu[-n-1]$

$Z.T[a^n u[n]] + Z.T[a^{-n}u[-n-1]] = {Z \over Z-a} + {Z \over Z {-1 \over a}}$

$$ ROC: |z| \gt a \quad\quad ROC: |z| \lt {1 \over a} $$

Plot ROC memiliki dua kondisi sebagai a> 1 dan a <1, karena Anda tidak mengetahui a.

Dalam hal ini, tidak ada kombinasi ROC.

Di sini, kombinasi ROC berasal $a \lt |z| \lt {1 \over a}$

Karenanya untuk masalah ini, transformasi-z dimungkinkan jika a <1.

Kausalitas dan Stabilitas

Kondisi kausalitas untuk sistem LTI waktu diskrit adalah sebagai berikut:

Sistem LTI waktu diskrit adalah kausal kapan

  • KOP berada di luar kutub terluar.

  • Dalam Fungsi transfer H [Z], urutan pembilang tidak boleh lebih kecil dari urutan penyebut.

Kondisi Stabilitas untuk Sistem LTI Waktu Diskrit

Sistem LTI waktu diskrit stabil saat

  • fungsi sistemnya H [Z] termasuk lingkaran satuan | z | = 1.

  • semua kutub dari fungsi transfer terletak di dalam lingkaran satuan | z | = 1.

Z-Transformasi Sinyal Dasar

x (t) X [Z]
$\delta$ 1
$u(n)$ ${Z\over Z-1}$
$u(-n-1)$ $ -{Z\over Z-1}$
$\delta(n-m)$ $z^{-m}$
$a^n u[n]$ ${Z \over Z-a}$
$a^n u[-n-1]$ $- {Z \over Z-a}$
$n\,a^n u[n]$ ${aZ \over |Z-a|^2}$
$n\,a^n u[-n-1] $ $- {aZ \over |Z-a|^2}$
$a^n \cos \omega n u[n] $ ${Z^2-aZ \cos \omega \over Z^2-2aZ \cos \omega +a^2}$
$a^n \sin \omega n u[n] $ $ {aZ \sin \omega \over Z^2 -2aZ \cos \omega +a^2 } $